A study on s-IFR and s-IFRA orderings and an application to parallel systems

Abstract

Muitas classes de distribuições que representam o tempo de vida de um sistema são caracterizadas pelas suas propriedades de envelhecimento. Estas propriedades podem ser descritas através da função de sobrevivência ou da função de taxa de falha e permitem-nos ainda estabelecer comparações entre distribuições dentro da mesma família, dando origem às ordenações de envelhecimento. No caso de duas variáveis aleatórias que representem o tempo de vida de dois sistemas diferentes, é muitas vezes útil saber qual dos sistemas envelhece mais rapidamente. Estas ordenações de envelhecimento permitem a comparação dos sistemas através da análise das distribuições associadas. Neste trabalho, começamos por apresentar duas noções de envelhecimento, relacionadas com a monotonia da função de taxa de falha, bem como algumas propriedades da mesma. Definimos, também, duas ordenações de envelhecimento, s-IFR e s-IFRA, e apresentamos algumas condições equivalentes e resultados que facilitam a comparação entre duas distribuições. Para além disso, um critério para a ordenação s-IFR é apresentado. Este critério será o resultado ``chave'' para a comparação entre sistemas paralelos com duas componentes com distribuições exponenciais. No último capítulo deste trabalho, o nosso objectivo é provar, em termos da ordem s-IFRA, que um sistema paralelo de três componentes independentes, idêntica e exponencialmente distribuídas envelhece mais rápido do que um sistema paralelo com três componentes independentes e exponencialmente distribuídas, com taxas de falha diferentes.

Many classes of lifetime distributions can be characterized by their ageing properties. These properties can be described by their survival function or by their failure rate function. These ageing properties will allow us to compare in some sense two distributions within the same family, giving rise to ageing orderings. In the case of two random variables that represent the lifetime of two different systems, it is often useful to know which one ages faster. The ageing orderings allow us to compare, in some sense the age of systems, by analysing the behaviour of the distributions associated to their lifetimes. In this work, we start by presenting two ageing notions related to the monotonicity of the failure rate function and study some of their properties. We also define two ageing orders, the s-IFR and s-IFRA. For these ageing orders we will present some equivalent conditions and results that facilitate the comparison between two distributions. Furthermore, we present a criterium for the s-IFR order based on the s-IFRA ordering. This criterium will be the ``key'' result for comparing two parallel systems with two exponentially distributed components. In the last chapter of this monograph, we aim to apply the criterium in order to prove that, in terms of the s-IFRA order, a parallel system with three homogeneous, independent and exponentially distributed components ages faster than a parallel system with three heterogeneous, independent and exponentially distributed components.