Um teste de ajustamento a uma família de distribuições de localização e escala baseado na distância de energia

Abstract

In 2005, Székely and Rizzo proposed a goodness-of-fit test based on the concept of statistical distance between distributions,given random vectors, designated energy distance. In this dissertation, we study the previously referred test, centering our focus on the univariate case. We begin by providing a brief introduction to the concept of energy distance and studying its main properties, which will be essential for establishing the estimator of energy distance, followed by its demonstration. Subsequently, we obtain an estimator of the energy distance between two real random variables, which will have two alternative representations based on the properties of energy distance, allowing us to develop the study of the goodness-of-fit test based on energy distance. As a starting point, we analyze the particular case of the goodness-of-fit test to a fixed distribution, and then generalize it to a location-scale family of distributions. In both cases, whether the null hypothesis is simple or composite, we define the involving test statistic based on the previously determined estimator of energy distance and establish its asymptotic distribution under the null hypothesis. Additionally, we study the significance level of the test as well as its convergence. Finally, the empirical power of the test under study will be evaluated through a simulation study, both in the case of the goodness - of - fit test to a fixed distribution initially and the goodness-of-fit test location-scale family of distributions.

Em 2005, Székely e Rizzo propuseram um teste de ajustamento baseado numa distância estatística entre distribuições de vetores aleatórios a que chamam de distância de energia. Nesta dissertação estudamos este teste focando a nossa atenção no caso univariado. Começamos por fazer uma breve introdução ao conceito de distância de energia e estudar as suas principais propriedades, seguindo-se a respetiva demonstração. Posteriormente, obtemos um estimador da distância de energia entre duas variáveis aleatórias reais, o qual irá admitir duas representações alternativas, tendo em conta as propriedades da distância de energia, o que nos permite desenvolver o estudo do teste de ajustamento baseado na distância de energia. Como ponto de partida, analisamos o caso particular do teste de ajustamento a uma distribuição fixa, generalizando de seguida a uma família de distribuições de localização e escala. Tanto nos casos em que a hipótese nula é simples como composta, definimos a estatística de teste envolvente, com base no estimador da distância de energia anteriormente determinado, e estabelecemos a sua distribuição assintótica sob a hipótese nula. Além disso, estudamos o nível de significância do teste bem como a convergência do mesmo. Para finalizar, a potência empírica do teste em estudo será avaliada através de um estudo de simulação tanto no caso do teste de ajustamento a uma distribuição fixa à partida como no teste de ajustamento a uma família de distribuições de localização e escala.