Mathematical model to reconstruct the mechanical properties of an elastic medium

Abstract

Neste trabalho investigamos o modelo matemático para a reconstrução das propriedades mecânicas de um meio elástico. Com esse objectivo, nós desenvolvemos o modelo matemático para as deformações mecânicas assumindo que os parâmetros que definem as propriedades mecânicas de o meio são conhecidos. O modelo é baseado em equações de elasticidade linear em tempo harmónico. A solução numérica é obtida usando a discretização de elementos finitos em um domínio tridimensional. O desempenho do método é ilustrado com exemplos numéricos. O modelo matemático para resolver este problema direto é a base computacional para abordar o problema inverso que consiste em determinar o conjunto de parâmetros que caracterizam as propriedades mecânicas de um meio conhecendo o campo de deslocamentos para uma dada excitação. Nós consideramos diferentes métodos de otimização para resolver o problema inverso e discutimos o seu desempenho. Nós exibimos vários resultados computacionais que ilustram seu comportamento em termos de precisão e eficiência. O estudo descrito nesta tese foi desenvolvido no âmbito de um projecto mais amplo com o objectivo do desenvolvimento de uma nova técnica de imagiologia que permite mapear in vivo as propriedades mecânicas da retina por Elastografia de Coerência Óptica, que é uma técnica de elastografia baseada na Tomografia de Coerência Óptica. O objectivo final é a descoberta de biomarcadores baseados nas propriedades mecânicas da retina que permitam a deteção precoce, anterior às manifestações clínicas, de processos neurodegenerativos.

In this work we investigate a mathematical model to reconstruct the mechanical properties of an elastic medium. To this end, we develop of a mathematical model for the mechanical deformation assuming that the parameters that define the mechanical properties of the medium are known. The model is based on time-harmonic equations of linear elasticity. The numerical solution is obtained using a finite element discretization in a three-dimentional domain. The performance of the method is illustrated with numerical examples. The mathematical model for solving this direct problem is the computational basis to address the inverse problem which consists of determining the set of parameters that characterize the mechanical properties of the medium knowing the displacement fields for a given excitation. We consider different optimization methods to solve the inverse problem and discuss their performance. We report several computational results which illustrate their behavior in terms of accuracy and efficiency.The study reported in this thesis was developed in the scope of a broader project with the objective of developing a new imaging technique that allows to map in vivo the mechanical properties of the retina by Optical Coherence Elastography, which is an elastography technique based on Optical Coherence Tomography. The final goal is the discovery of biomarkers based on the mechanical properties of the retina that allow the early detection, before clinical manifestations, of neurodegenerative processes.