Janelas plug-in para o estimador do núcleo da densidade baseadas nas funções de Hermite

Abstract

A estimação da função densidade é um assunto muito estudado na estatística. Nesta dissertação, iremos recorrer ao estimador do núcleo, que depende do núcleo, K, e da janela h, para a estimação de uma função densidade f, porém, uma vez que a escolha da janela é mais relevante do que a escolha K, iremos desenvolver esta escolha ao longo da dissertação. Sob certas condições, provaremos a existência de uma janela ótima que consiste no minimizante do erro quadrático médio integrado, MISE, do estimador do núcleo da densidade e analisaremos o seu comportamento assintótico. Com o intuito de obtermos expressões assintóticas para a janela ótima, iremos obter desenvolvimentos assintóticos para o MISE e para as derivadas de primeira e segunda ordem. Pelas expressões assintóticas para a janela ótima, verificamos que temos parâmetros dependentes de f, por isso desconhecidos. Assim, através das funções de Hermite vamos conseguir estimar estes parâmetros, através de dois estimadores possíveis. Tendo presentes os estimadores obtidos analisaremos as suas convergências e, por fim, como estes estimadores dependem de um novo parâmetro m, vamos proceder a escolha automática deste valor e, em seguida, iremos procederemos ao estudo comparativo de simulação entre as janelas obtidas por nós através da estimação do sistema ortogonal de Hermite com as janelas clássicas obtidas pelos métodos plug-in direto a duas etapas e da validação cruzada tendo em consideração f como uma mistura de densidades normais.

Density estimation is a highly studied subject in nonparametric statistics. In this dissertation, we will use the kernel estimator, which depends on the kernel, K, and bandwidth h, for the estimation of a density function f, however, since the choice of the bandwidth is more relevant than the choice of the kernel K, we will develop this choice throughout the dissertation. Under certain conditions, we will prove the existence of an optimal bandwidth consisting of the minimizer of the mean integrated square error, MISE, of the density kernel estimator and analyze its asymptotic behavior. In order to obtain asymptotic expressions for the optimal bandwidth, we will obtain asymptotic developments for the MISE and for the first and second order derivatives. By the asymptotic expressions for the optimal bandwidth, we find that we have parameters dependent on f, so unknown. Thus, through the Hermite orthogonal system estimation we will be able to estimate these parameters, through two possible estimators. Taking into account the obtained estimators we will analyze their convergences and, finally, as these estimators depend on a new parameter m, we will proceed to the automatic selection of this value, and then we will proceed to the comparative simulation study between the bandwidth obtained by us through of the Hermite orthogonal system estimation with the classic bandwidth obtained by direct two-step plug-in methods and cross-validation taking into account f as a mixture of normal densities.