Campanato spaces and applications in partial differential equations

Abstract

Neste trabalho, começamos por estudar os espaços $\mathcal{L}^{(q,\lambda)} (\Omega,\delta)$, que generalizam os espaços $\mathcal{L}^{(q,\lambda)}(\Omega)$ introduzidos por S. Campanato em 1963. Provamos que, para $\lambda>1$, são equivalentes ao espaço das funções contínuas à Holder $C^{0,\alpha}(\overline{\Omega})$, com $\alpha=\frac{\lambda-n}{q}$. No capitulo seguinte, estudamos a regularidade das soluções fracas à equação com derivadas parciais não homogénea\begin{align*}u_t-\mbox{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=f \in L^{(q,r)}, \quad p\geq 2.\end{align*}Mostramos que soluções são contínuas à Holder, com expoente $\alpha$, onde\begin{align*}\alpha=\frac{(pq-n)r-pq}{q[(p-1)r-(p-2)]},\end{align*}provando que vivem em $\mathcal{L}^{(p,\lambda)} (\Omega,\delta)$, para algum $\lambda$ e $\delta$ e usando a caracterização de Campanato-Da Prato da continuidade à Holder.No capítulo final, queremos obter resultados semelhantes para a PME\begin{align*}u_t-\mbox{div}(m|u|^{m-1}\nabla u)=f, \quad m>1.\end{align*}Concluimos que soluções limitadas da PME são localmente de classe are $C^{0,\gamma,\frac{\gamma}{\theta}}$, com\begin{align*}\gamma=\frac{\alpha}{m}, \qquad \alpha=\mbox{min}\left\{ \alpha_0^-,\frac{m[(2q-n)r-2q]}{q[mr-(m-1)]}\right\},\end{align*}onde $0<\alpha_0\leq 1$ denota o expoente de Holder óptimo para \eqref{pme} com $f\equiv 0$, e\begin{align}\label{thetapme}\theta=\alpha\left(1+\frac{1}{m}\right)+(1-\alpha)2.\end{align}Com o objectivo de tornar este texto o mais auto-contido possível, decidimos incluir alguns resultados cruciais da teoria, como expansão da positividade e a desigualdade de Harnack.

In this work, we start off by studying the $\mathcal{L}^{(q,\lambda)} (\Omega,\delta)$ space, which generalizes the Campanato space $\mathcal{L}^{(q,\lambda)}(\Omega)$ introduced by S. Campanato in 1963. We prove that, for $\lambda>1$, they are equivalent to the spaces of Holder continuous functions $C^{0,\alpha}(\overline{\Omega})$, with $\alpha=\frac{\lambda-n}{q}$.In the following chapter, we will study the regularity of the weak solutions to the inhomogeneous partial differential equation\begin{align*}u_t-\mbox{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=f \in L^{(q,r)}, \quad p\geq 2.\end{align*}We show that the solutions are Holder continuous, with exponent $\alpha$ given by\begin{align*}\alpha=\frac{(pq-n)r-pq}{q[(p-1)r-(p-2)]},\end{align*}proving that they belong to $\mathcal{L}^{(p,\lambda)} (\Omega,\delta)$, for some $\lambda$ and $\delta$ and using the Campanato-Da Prato characterization of the H\"older continuity.In the final chapter, we want to get similar results for the PME\begin{align*}u_t-\mbox{div}(m|u|^{m-1}\nabla u)=f, \quad m>1.\end{align*}We conclude that bounded weak solutions of the PME are locally of class $C^{0,\gamma,\frac{\gamma}{\theta}}$, with \begin{align*}\gamma=\frac{\alpha}{m}, \qquad \alpha=\mbox{min}\left\{ \alpha_0^-,\frac{m[(2q-n)r-2q]}{q[mr-(m-1)]}\right\},\end{align*}where $0<\alpha_0\leq 1$ denotes the optimal H\"older exponent of \eqref{pme} with $f\equiv 0$ and\begin{align}\label{thetapme}\theta=\alpha\left(1+\frac{1}{m}\right)+(1-\alpha)2.\end{align}Attempting to make this text as self-contained as possible, we decided to include some crucial results such as some DeGiorgi's Lemmas, expansion of positivity and Harnack Inequality.