Estimação de Distribuições de Perda através de Métodos do Núcleo

Abstract

Sendo a função de perda a densidade da variável aleatória real que representa o valor da indeminização paga ao cliente subscritor de um produto de uma seguradora, a sua estimação constitui um problema típico das ciências atuariais. Na sua estimação é pratica corrente a análise dos dados divididos em duas tranches consoante a magnitude, através da definição de um threshold. No entanto, a escolha da melhor combinação de distribuições a ajustar pelos métodos paramétricos revela-se um problema, dado o desconhecimento da verdadeira densidade. Nesta dissertação são apresentadas metodologias unificadas de estimação, onde os estimadores do núcleo surgem como ferramentas essenciais. Primeiramente, é feita a apresentação do estimador do núcleo usual, à qual se alia uma análise do desenvolvimento assintótico dos erros quadrático médio e quadrático médio integrado, bem como da janela ótima de estimação, cujo critério assenta na minimização do critério de erro global. Por sua vez, a existência de distribuições com problemas de regularidade na origem leva a introdução dos núcleos de fronteira. Nesta fase são introduzidas várias alternativas para os núcleos de fronteira e respetiva análise dos aspetos mencionados para o primeiro estimador. Wand et al. (1991) concluem que a aplicação de uma transformação aos dados e a consecutiva estimação da densidade, baseada na densidade dos dados transformados, por métodos do núcleo se revela eficaz no aumento do desempenho da estimação. Assim, Buch-Larsen et al. (2005) introduzem a estimação da função de perda com métodos do núcleo com correção de fronteira bilateral pela aplicação da transformação pela função de distribuição da lei de Champernowne modificada, sendo esta a terceira alternativa apresentada para método do núcleo. Em último, é levado a cabo um estudo de simulação que contrapõe os três métodos do núcleo apresentados, bem como dois núcleos de fronteira distintos, para três distribuições e tamanhos de amostra. A precisão da estimação é avaliada de forma global tendo em conta os erros L1 e L2, sendo que o erro WISE surge como medida associada ao desempenho do estimador na cauda da distribuição, dada a sua maior ponderação nesta zona do suporte da variável. Este estudo permite então concluir que os métodos do núcleo que assentam na estimação da densidade dos dados transformados produzem melhores estimativas para a densidade original.

The estimation of the loss distribution, being the density of the real random variable that represents the value of the claim paid to an insurance product subscriber, constitutes a typical problem in actuarial sciences. When estimating its distribution, it is recurrent that the data is analyzed in two different groups according to their value due to the definition of a threshold. Nevertheless, the choice of the better combination of distributions to adjust by parametric methods reveals itself to be a problem given the unfamiliarity of the true density. In this dissertation, unified methodologies of estimation where kernel estimators arise as essential tools are presented. Firstly, the usual kernel estimator is presented as well as the analysis of the asymptotic expansion of the mean square error and the mean integrated square error and the determination of an optimal bandwidth whose criteria is based on the minimization of the global error measure. The existence of regularity problems at 0 in some distributions leads to the presentation of the boundary kernels. At this stage, several alternatives to boundary kernels are introduced and it follows the analysis of the same subjects presented for the first estimator. Wand et al. (1991) realize that the transformation of data succeeded by the estimations of the density, based on the density of the transformed data, by kernel methods is efficient on the improvement of the estimator performance. Thus, Buch-Larsen et al. (2005) introduced the loss distribution estimation by kernel methods with bilateral boundary kernel and the modified Champernowne distribution function as transformation. This constitutes the third kernel method presented. At last, a simulation study is carried out where one could compare the three kernel methods as well two boundary kernels for three distributions and sample sizes. The global performance of the estimator is evaluated with L1 and L2 error measures while WISE is taken as a measure to the performance in the tail since it weighs more errors in the distribution tail. This study allows us to realize that the third kernel method presented has a better performance when estimating the loss distribution.