Método ADI para um modelo de fusão seletiva a laser

Abstract

A produção de objetos metálicos em três dimensões usando fusão seletiva a laser tem tidoimportância crescente na fabricação de moldes de pequenas dimensões e geometrias complexas. Estatécnica usa informação digital para produzir um objeto tridimensional a partir da atuação de um lasersobre pó metálico e é caracterizada pela adição sucessiva de material camada a camada. Neste trabalhovamos formular e discutir um modelo que traduz o processo de transferência de calor bidimensionaldurante a fusão seletiva a laser.O modelo que vamos considerar consiste num problema de valor inicial com condição de fronteiraassociada à equação do calor bidimensional. Como não temos acesso à solução exata de grande partedestes problemas, neste trabalho exploramos um método numérico por forma a obtermos uma soluçãoaproximada do problema. As condições de fronteira para o problema de fusão seletiva a laser tomamem consideração os processos de convecção e radiação, dando origem a condições não lineares.Nesta dissertação vamos descrever como podemos usar o método da direção implícita alternada(ADI) Peaceman-Rachford para resolver o problema sujeito a diferentes condições de fronteira:condições de Dirichlet, condições de fronteira mistas e condições não lineares. Para lidar com a nãolinearidade da condição de fronteira, que traduz a transferência de calor por radiação e convecção,vamos recorrer ao método iterativo de Newton. De seguida, apresentamos uma análise da convergênciapara alguns casos particulares. Concluímos que o método ADI com condições de fronteira de Dirichleté de segunda ordem tanto no tempo como no espaço. Teoricamente, provamos que o método ADIcom condições de fronteira mistas tem ordem de convergência pelos menos um no espaço e dois notempo. Numericamente, verificamos que este tem convergência de segunda ordem no espaço.Neste trabalho apresentamos também um exemplo do método ADI Peaceman-Rachford em trêsdimensões.

The production of metallic objects in three dimensions using selectivelaser melting (SLM) has become increasingly important in the manufacturing of small and complex molds. This technique uses digital information to produce a 3D metallic object through the action of a laser passing over a metal powder. It is characterized by a successive addition of material to a specific area, layer by layer.In this work, we present a model that describes the heat transfer process in two dimensions during SLM. This process is described by the heat equation subject to initial and boundary conditions. Due to not having access to the exact solution to most of these problems, we explore through this work a numerical method to obtain an approximated solution to the problem. The boundary conditions to the selective laser melting problem take into consideration the convection and radiation processes, giving origin to non-linear conditions. To deal with the nonlinearity of the boundary condition, we use Newton's method.Following this, we will present a convergence analysis to a few cases.We conclude that the ADI method with Dirichlet boundary conditions is second order accurate in both time and space. Theoretically, we prove that the ADI method with mixed boundary conditions has rate of convergence of at least one in space and two in time. Numerically, we verify that the latter is second order accurate in space.In this work we also present an example of the Peaceman-Rachford ADI method in three dimensions.