Características de polítopos

Abstract

A complexidade de extensão de um polítopo é uma medida da sua complexidade na resolução de um programa linear. Por um teorema clássico de Yannakakis, esta corresponde à característica não negativa de uma matriz associada ao polítopo, a chamada matriz de folgas. Na primeira parte deste trabalho, efectuamos o estudo assintótico de dois minorantes da complexidade de extensão para o caso de polígonos: um combinatório e um geométrico. O resultado obtido melhora significativamente o corrente estado da arte. Na segunda parte, concentramos os nossos esforços na característica booleana da matriz de folgas de um polígono. Fazemos um levantamento breve dos minorantes disponíveis, verificando a sua eficácia para o caso dos polígonos, e exploramos uma técnica de majoração, dando-lhe uma nova interpretação gráfica e recuperando e estendendo os resultados disponíveis. Como consequência, obtemos novos valores exactos para a característica booleana de alguns polígonos para os quais não estava ainda determinada.

The extension complexity of a polytope is a measure of its complexity when solving a linear program. By a classic result of Yannakakis, this corresponds to the nonnegative rank of a matrix associated to the polytope, its so-called slack matrix. On the first part of this work, we will do the asymptotic study of two lower bounds for the extension complexity: one combinatorial and another one geometric. The obtained results significantly improve the current state of the art. On the second part, we will focus our efforts in the boolean rank of the slack matrix of a polygon. We will do a short survey of the available lower bounds, verifying their effectiveness on the polygon case, and we explore an upper bound technique, offering a new graphical interpretation and recovering and extending the available results. As a consequence, we get new exact values for the boolean rank of some polygons for which it was not previously determined.