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https://hdl.handle.net/10316/33696
Title: | Análise fatorial | Authors: | Carvalho, Francisco Ricardo Duarte de | Orientador: | Martins, Cristina Maria Tavares | Keywords: | Análise fatorial; Componentes principais; Matriz de variâncias-covariâncias; Valores e vetores próprios; Lei normal multivariada; Estimadores de máxima verosimilhança; Factor analysis, Principal components; Variance-covariance matrix; Eigenvalues and eigenvectors; Multivariate normal distribution; Maximum likelihood estimators | Issue Date: | 13-Sep-2013 | Serial title, monograph or event: | Análise fatorial | Place of publication or event: | Coimbra | Abstract: | A análise fatorial é um método estatístico multivariado cujo objetivo
é agrupar p variáveis aleatórias, X1, . . . ,Xp, em grupos formados por
variáveis fortemente correlacionadas. Tais grupos constituem os chamados
fatores ou variáveis latentes. Os fatores são variáveis aleatórias
não observáveis, preferencialmente em número inferior ao das variáveis
originais. Neste trabalho, considera-se o modelo fatorial ortogonal, no
qual os fatores são ortogonais dois a dois. No modelo fatorial, cada
variável original é escrita como combinação linear dos fatores comuns
adicionada de um fator específico. Para estimar os coeficientes dos fatores
comuns, denominados pesos fatoriais, são abordados dois métodos,
nomeadamente, o método das componentes principais e o método da máxima
verosimilhança, sendo o primeiro desenvolvido com mais pormenor.
Neste sentido, começa-se por definir e obter as componentes principais
de uma população. O procedimento correspondente envolve os valores
próprios e os vetores próprios da matriz de correlações ou da matriz de
variâncias-covariâncias das variáveis X1, . . . ,Xp. Seguidamente, obtêmse
as componentes principais amostrais e apresentam-se estimadores para
os parâmetros envolvidos, em particular, estimadores de máxima verosimilhança
no caso em que o vetor aleatório [X1 . . .Xp]T tem distribuição
normal multivariada.
Referem-se vários critérios para escolher o número m de fatores,
m < p, e, considerando os fatores como eixos ortogonais, aborda-se a
rotação ortogonal dos mesmos, com vista a facilitar a sua interpretação.
Apesar dos fatores comuns serem variáveis não observáveis, é possível
estimar o valor de cada fator (score) para cada indivíduo da amostra.
Neste trabalho referem-se dois métodos para atingir esse objetivo: o
método dos mínimos quadrados ponderados e o método da regressão.
Finalmente, apresenta-se um exemplo de aplicação da análise fatorial,
desenvolvido com recurso ao software SPSS. Factor analysis is a multivariate statistical method with the objective of grouping p random variables X1, . . . ,Xp in groups formed by strongly correlated variables. These groups are called factors or latent variables. The factors are unobservable random variables, preferably in smallest number that the original variables. In this work, is considered the orthogonal factorial model, in which the factors are orthogonal two linear combination of the common factors and added to a specific factor. To estimate the coefficients of common factors, called loadings, we will see two methods, namely, the method of principal components and the method of maximum likelihood, the first being developed in more detail. We starts by define and obtain principal components of a population. The corresponding procedure involves the eigenvalues and eigenvectors of the correlation matrix or the variance-covariance matrix of the variables X1, . . . ,Xp. Then, we obtain the principal components of sample and we present the estimators for involved parameters, in particular, maximum likelihood estimators in case that the random vector [X1 . . .Xp]T has multivariate normal distribution. We refer several criteria to choose the number m of factors, m < p, and, considering the factors as orthogonal axes, we study the orthogonal rotation, to facilitate their interpretation. Although the common factors are unobservable variables, we can estimate the value of each factor (score) for each element of sample. In this work we refer two methods to achieve this objective: the method of weighted least squares and the regression method. Finally, we present an example of application of factor analysis, developed using the SPSS software. |
Description: | Dissertação de Mestrado em Matemática apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra | URI: | https://hdl.handle.net/10316/33696 | Rights: | openAccess |
Appears in Collections: | UC - Dissertações de Mestrado FCTUC Matemática - Teses de Mestrado |
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