Numerical-based plastic potentials for anisotropic porous metallic materials: development and implementation

Abstract

A modelação da deformação plástica e da fratura de materiais dúcteis metálicos é um problema de longa data no domínio da mecânica dos sólidos. Dada a relação íntima entre o teor de porosidade e a ocorrência de rutura num material dúctil, a teoria dos meios porosos constitui uma abordagem poderosa e natural para modelar fenómenos de dano. Tradicionalmente, o desenvolvimento de potenciais plásticos para sólidos porosos com base em teorias de homogeneização é efetuado de modo a obter uma expressão final analítica. Esta abordagem está em consonância com o conhecida teoria de Gurson (1977). No entanto, devido à complexidade da análise de homogeneização, a obtenção de expressões analíticas implica frequentemente a adoção de várias hipóteses de simplificação, ou pode mesmo ser impossível. Isto é especialmente evidente quando são considerados critérios de plasticidade complexos para a descrever o comportamento da matriz. Oportunamente, o aumento constante da relação potência/custo computacional permite atualmente a adoção de uma abordagem numérica para este problema, que, pela sua própria natureza, contorna as limitações acima referidas permitindo, no entanto, que a simulação numérica de problemas de engenharia seja realizada num tempo computacional razoável.O objetivo desta dissertação é desenvolver e implementar potenciais plásticos de base numérica para materiais porosos dúcteis cujo comportamento da matriz é regido por critérios ortotrópicos avançados, que têm em conta a assimetria tensão-compressão e um número arbitrário de transformações lineares. A análise segue o método de homogeneização cinemática de Hill-Mandel para o caso de sólidos porosos com vazios esféricos distribuídos aleatoriamente. O comportamento da matriz é descrito pelo critério de plasticidade ortotrópico de Plunkett et al. (2008) e são adotados dois tipos de campos de velocidade de ensaio: os de Rice e Tracey (1969); e os ditos campos do tipo Eshelby, baseados na solução para os pontos exteriores do problema da inclusão de Eshelby (1959). O potencial de taxa de deformação à microescala é um ingrediente fundamental da análise de homogeneização. O conjugado exato do potencial plástico não quadrático de Plunkett et al. (2008) é, portanto, inicialmente derivado.A novidade desta contribuição assenta no facto dos potenciais macroscópicos deixarem de ser avaliados analiticamente, mas sim através da integração numérica dos campos locais que entram no problema de homogeneização. Assim, foi desenvolvido um método de integração numérica eficiente para as operações de cálculo da média sobre o volume do domínio esférico. O método proposto baseia-se na divisão dos integrais de volume em integrais de superfície sobre as superfícies esféricas e integrais unidimensionais sobre a direção radial. Os primeiros são determinados com base na teoria dos designs esféricos e os últimos através um esquema de integração adaptativo baseado em splines cúbicas. Demonstra-se que o custo computacional para a determinação dos potenciais desenvolvidos, com uma tolerância compatível com a habitualmente utilizada no domínio da mecânica computacional não-linear, não é proibitivamente alto.De modo a avaliar a precisão dos critérios desenvolvidos, realizam-se análises de elementos finitos em células unitárias esféricas. Os resultados mostram que os potenciais numéricos propostos estão em excelente concordância com os resultados das células unitárias e que o seu desempenho preditivo é muito superior ao dos critérios analíticos na literatura.Os critérios de base numérica propostos neste trabalho foram formulados com o objetivo de serem facilmente incorporados em simulações de engenharia. Para demonstrar este procedimento, estes critérios são implementados no âmbito de uma formulação constitutiva de grandes deformações, baseada na decomposição multiplicativa elástico-plástica com uma lei hiperelástica, associada a uma lei de plasticidade associada baseada no potencial de taxa de deformação para descrever a dissipação plástica.Incontestavelmente, as soluções analíticas são preferíveis, tanto do ponto de vista conceptual como computacional. No entanto, se estas forem obtidas à custa de uma simplificação excessiva do problema subjacente, então a sua pertinência é questionável. Este trabalho mostra que os critérios analíticos para sólidos porosos existentes na literatura são incapazes de representar a complexa relação entre a plasticidade à micro- e macro- escala induzida pela porosidade. A principal conclusão é que estas limitações não são imputáveis à qualidade dos campos de teste utilizados, mas sim às hipóteses de simplificação assumidas nas respetivas análises analíticas que, em última análise, suprimem a capacidade de modelação inerente ao processo de homogeneização. Isto reforça claramente o interesse em adotar uma abordagem numérica, uma vez que, neste caso, a qualidade das previsões é tão exata quanto o permitido pela operação de transição de escala.

Modelling the plastic deformation and the onset of fracture of structural and functional ductile metallic materials is a long-standing problem in the field of solid mechanics. Given the intimate relationship between the porosity degree and the occurrence of failure in a ductile material, the framework of porous media offers a powerful and natural approach for modelling damage phenomena. Traditionally, the development of plastic potentials for porous solids based on homogenization theories is aimed at obtaining a final expression in analytical form. This is in line with the well-known micromechanical-inspired criterion of Gurson (1977). However, due to the complexity of the upscaling analysis, obtaining closed-form expressions often entails the adoption of several simplification hypotheses, or may even be impossible. This is particularly true when dealing with complex plasticity criteria for the matrix (i.e. the dense phase of the porous aggregate). Opportunely, the ever-increasing computational power-cost ratio has been empowering the adoption of a numerical approach to this problem, which, by its very nature, bypass the above limitations, while allowing the numerical simulation of large-scale engineering problems to be carried out in a reasonable computational time.The aim of this dissertation is to develop and implement numerical-based plastic potentials for ductile porous materials whose matrix behaviour is governed by advanced orthotropic criteria which account both for tension-compression asymmetry and an arbitrary number of linear transformations. The analysis follows the kinematical Hill-Mandel homogenization scheme and considers porous solids containing randomly distributed spherical voids. The matrix behaviour is described by the Plunkett et al. (2008) orthotropic yield criterion, and two types of trial velocity fields are adopted: those of Rice and Tracey (1969); and the so-called Eshelby-type fields, based on the exterior point solution of the well-known Eshelby (1959) inclusion problem for the particular case of a spherical inclusion. The microscale strain-rate potential is a key ingredient of the upscaling analysis. The exact dual of non-quadratic stress potential of Plunkett et al. (2008) is therefore derived.The novelty of this contribution is that the macroscopic potentials are no longer evaluated analytically, but by numerical integration of the relevant local fields entering the homogenization scheme. Hence, an efficient cubature method for the volume averaging operations over the spherical domain is developed. The proposed method is grounded on the split of the volume integrals into surface integrals over the spherical surfaces and one-dimensional integrals over the radial direction. The former are evaluated based on the theory of spherical t-designs, and the latter are determined using a tailor-made adaptative integration scheme based on cubic splines. It is shown that that the computational cost of evaluating the proposed macroscopic strain-rate potentials, with a tolerance compatible with that usually used in nonlinear computational continuum mechanics, is not prohibitively expensive.Finite element-based limit analyses on spherical unit cells are performed in order to assess the accuracy of the developed criteria. The results show that the proposed numerical-based potentials are in very good agreement with the finite element results and that their predictive performance is far superior to that of analytical criteria in the literature.The numerical-based criteria proposed in this work are formulated with the aim of being easily incorporated into actual engineering simulations. In order to demonstrate this process, these are implemented in a large-strain constitutive framework grounded on an hyperelastic-based elastic-plastic multiplicative split formulation coupled with a strain-rate potential flow rule for describing the plastic dissipation.Undoubtedly, analytical solutions are preferable, both from a conceptual and computational point of view. However, if these are obtained at the cost of an oversimplification of the underlying problem, then their relevance is questionable. This work demonstrates that existing analytical porous criteria are incapable of representing important porosity-induced micro-macro plasticity couplings observed in unit cell micromechanical studies. The key conclusion is that these limitations are not attributable to the quality of the employed velocity fields, but to the simplification hypotheses, whether or not upper-bound preserving, employed in the respective analytical analyses which, ultimately, erase the intrinsic modelling capability of the homogenization. This clearly emphasizes the value of pursuing a numerical-based homogenization approach, since the predicted micro-macro plasticity couplings are as accurate as permitted by the scale transition operation.