Keller-Segel models for chemotaxis: stable and second order approximations

Abstract

O principal objetivo deste trabalho é o estudo, no ponto de vista analítico e numérico, de um problema Keller-Segel com condições inicial e de fronteira. No que diz respeito ao ponto de vista analítico, apresentamos um estudo de estabilidade considerando um domínio limitado unidimensional com condições de Neumann homogéneas para a fronteira. Embora no ponto vista numérico, o nosso objetivo central seja obter a versão discreta dos resultados de estabilidade estabelecidos para o caso contínuo, iniciamos o nosso estudo com a análise de estabilidade e a convergência de uma versão discreta do problema analisado anteriormente, mas considerando condições defronteira de Dirichlet homogéneas. O comportamento qualitativo do sistema estudado é ilustrado numericamente. Num futuro próximo pretendemos estender os resultados discretos aqui apresentados para um domínio bidimensional e condições de fronteira de Neumann. É claro que, mesmo para domínios unidimensionais, este novo problema apresenta vários desafios que precisamos resolver. ㅤ

The main objective of this work is to study, from analytical and numerical perspectives, a Keller-Segel initial boundary value problem. In what concerns the mathematical analysis, we present a stability study for bounded domain in $\mathbb{R}$ with homogeneous Neumann boundary conditions. Although in numerical perspective our main goal is to obtain the discrete version of the continuous stability results, we start by studying the stability and convergence of a discrete version of the initial boundary value problem analyzed before but considering homogeneous Dirichlet boundary conditions and a one-dimensional spatial domain. Several numerical experiments are included to illustrate the qualitative behavior of the Keller-Segel problem. In the near future we intend to extend the discrete results presented here for a two-dimensional domain and Neumann boundary conditions. It is clear that, even for one-spatial domains, this new problem poses several challenges that we need to solve. ㅤ