Modelos discretos para a equação do telégrafo: convergência e estabilidade

Abstract

O objectivo principal deste trabalho é o estudo do problema de condições inciais e de fronteira definidopela equação do telégrafo. Embora esta equação tenha um grande número de aplicações e tenhasido largamente utilizada na literatura, recentemente surgiu associada à libertação de fármacos e seutransporte em dispositivos médicos de entrega de fármacos responsivos a ultrasons. No ponto de vista analítico, a existência e unicidade de solução fraca são estabelecidos. No pontode vista numérico, vários métodos numéricos são estudados analitica ou numericamente. O suporteteórico para a estabilidade e convergência são desenvolvidos para o método de diferenças finitasimplícito construído utilizando operadores de diferenças de segunda ordem para aproximar as derivadasespacial e temporal de segunda ordens e o operador de diferenças backward implícito para a derivadatemporal de primeira ordem. O resultado de convergência mostra que as derivadas numéricas dasolução numérica convergem para as correspondentes derivadas da solução contínua. Outros métodosde diferenças são considerados ao londo deste trabalho que são estudados pelo menos numericamente.Resultados numéricos que pretendem ilustrar os resultados teóricos obtidos estão também contidosneste trabalho. .

The main objective of this work is the study of the initial boundary value problem defined by thetelegraph equation. Although the telegraph equation as a huge number of applications and was largelyconsidered in the literature, recently it has been used to describe drug transport and drug deliverywithin ultrasound responsive drug delivery systems. From analytical point of view the existence and uniqueness of the weak solution are established. Fromnumerical point of view, several numerical methods were studied analytically or numerically. Thestability and convergence supports were developed for the implicit finite difference method defined bythe second order finite difference operators for the second order derivatives and the implicit backwardfinite difference operator for the first order time derivative. The convergence result shows that thenumerical space and time derivatives of the numerical approximations converge for the correspondentderivatives of the theoretical solution. Other methods were also studied at least numerically. Numericalexperiments illustrating the obtained theoretical results are also included. .