Dualidade de Schur-Weyl

Abstract

Nesta dissertação, as noções de representação polinomial e polinomial homogénea do grupo linear geral são apresentadas para corpos, estendendo depois a noção de representação polinomial homogénea para anéis comutativos.A álgebra de Schur será abordada, estudando algumas das suas propriedades.De modo a relacionar os conceitos anteriores, apresenta-se a dualidade de Schur-Weyl, e compara-se a teoria das representações polinomiais homogéneas do grupo linear geral com a teoria dos módulos sobre a álgebra de Schur. Esta comparação conduz-nos ao estudo de epimorfismos fortes no sentido de teoria de representações, sendo elaborados alguns resultados para este conceito.Mostra-se que, caso a dualidade de Schur-Weyl se verifique, existe equivalência entre a categoria dos módulos sobre a álgebra de Schur com a categoria das representações polinomiais homogéneas. Prova-se que, sobre corpos, a dualidade de Schur-Weyl ocorre se e só se estas categorias forem equivalentes. Tal acontece para corpos infinitos e para corpos finitos suficientemente grandes. Para os restantes corpos finitos, mostra-se a existência de casos nos quais a dualidade de Schur-Weyl não se verifica.Generalizando os resultados anteriores, neste trabalho, encontra-se uma condição suficiente para que a dualidade de Schur-Weyl ocorra sobre anéis comutativos quaisquer.Por fim, estudam-se functores de Schur, que permitem conectar a teoria das representações polinomiais homogéneas do grupo linear geral com a teoria das representações do grupo simétrico, como aplicação da dualidade de Schur-Weyl.

In this dissertation, polynomial representations of the general linear group are explored over an arbitrary field and homogeneous polynomial representations are also explored over commutative rings. The Schur Algebra is studied. In particular, some results on its structure are given. In order to relate these two concepts the notion of Schur-Weyl duality is introduced. Over fields, this duality is the bridge between the study of the homogeneous polynomial representations of the general linear group and the study of the modules over the Schur algebra. Over arbitrary rings, one can only conclude that when the Schur-Weyl duality holds then the category of homogeneous polynomial representations is equivalent to the category of modules over the Schur algebra. This relation is linked with the study of strong epimorphism in the sense of representation theory. So we study these maps and give some of their properties. It is known that Schur-Weyl duality holds for infinite fields and for finite fields sufficiently large. We present here the proofs of these results. We also show the existence of cases when the Schur-Weyl duality does not hold. We establish a sufficient condition that generalizes all the known cases of Schur-Weyl duality so far: for any commutative ring with enough units closed under addition, the Schur-Weyl duality holds. In this work, we also briefly study Schur functors and apply the study of the Schur-Weyl duality to connect the homogeneous polynomial representation theory of the general linear group and the representation theory of the symmetric group.