Modelos matemáticos para a quimiotaxia e formação de padrões

Abstract

Esta dissertação tem como principal objectivo o estudo de modelos matemáticos e de métodos numéricos para a simulação do fenómeno da quimiotaxia na formação de padrões. Começamos, por isso, por introduzir o conceito de quimiotaxia e apresentar um exemplo em concreto que servirá como motivação biológica. Vários modelos foram construídos para tentar compreender melhor o processo quimiotático. Aqui iremos deduzir um modelo de equações difusão-reacção usando duas abordagens diferentes: uma abordagem microscópica introduzida por C.S. Patlak em 1953 e uma abordagem macroscópica introduzida por E.F. Keller e L.A. Segel em 1970. Considerando um domínio limitado, onde está inserida uma população de células, inicialmente distribuídas de forma uniforme e provocando pequenas perturbações nesta distribuição inicial podemos levar a que as células se reorganizem (por quimiotaxia) de uma outra forma, formando padrões na sua concentração. Faremos um estudo do modelo apresentado por M.R. Myerscough, P.K. Maini, J.D. Murray e K.H. Winters em 1990 (um caso particular do modelo deduzido) que nos permitirá perceber em que condições é que as alterações ao estado de equilíbrio inicial levam à formação ou não de padrões. Para conseguir fazer este estudo recorreremos à instabilidade à Turing do sistema/ modelo. De modo a ilustrar este estudo, com alguns exemplos, iremos construir uma família de métodos numéricos usando diferenças finitas, o que nos permite aproximar e ilustrar o comportamento da solução do modelo. Além disso, apresentaremos também resultados teóricos sobre estes métodos, nomeadamente a positividade, a estabilidade e a convergência.

The main goal of this thesis is to study mathematical models and numerical methods to simulate chemotactic pattern formation. We started by presenting a definition for this concept and present a concrete example that will serve as biological motivation. Several models were built to better understand this phenomenon. In this study we will deduct a reaction-diffusion model of equations using two different approaches: a microscopic approach introduced by C. S. Patlak in 1953 and a macroscopic approach introduced by E.F Keller and Segel L.A. in 1970. Considering a limited area where a population of cells is inserted into, initially uniformly distributed, and causing small perturbations in this initial distribution we can lead the cells to reorganize (by chemotaxis) in a different order, forming patterns as they concentrate. We will study the model presented by M. R. Myerscough model, P. K. Maini, J.D. Murray and K.H. Winters in 1990 (a particular case of the deducted model) for this phenomenon that allows us to observe and understand which conditions to the changes in the initial equilibrium state can or not lead to pattern formations. In order to do this study we will use the Turing instability of the system / model. To illustrate this study with some examples we shall build a family of numerical methods using a finite difference which allows us to approach and better demonstrate the behavior of the model solution. We will also present theoretical results of these methods, namely positivity, stability and convergence.