Aritmética modular e suas aplicações: dos sistemas de identificação às mensagens secretas

Abstract

A aritmética modular é uma ferramenta importante na teoria dos números. Consiste em trabalhar com o resto da divisão inteira por um determinado número. Esta aritmética está na base da conceção de vários sistemas de identificação, presentes na nossa vida quotidiana, por exemplo em livros, cartões e artigos. É também utilizada na codificação e descodificação de mensagens secretas. Neste relatório pretendemos fazer, numa primeira parte, uma análise de alguns sistemas de identificação modulares maios utilizados, reconhecendo as suas limitações relativamente à det3eção de erros ocorridos na transmissão de números de identificação. Numa segunda parte, pretendemos apresentar, em contexto escolar, aplicações da aritmética modular no dia-a-dia, recorrendo a exemplos animados, práticos e palpáveis, bem como a programas informáticos apropriados.

The modular arithmetic is an important tool of number theory. It consists in working with the remainder of the integer division. This arithmetic is in the basics of the conception of several identification systems, and it appears, for example in books, cards and articles. It is also used in the encryption and decryption of secret messages. In the first part of this report we intend to do an analysis of some widely used modular identification systems, recognizing their limitations regarding the detection of errors in the transmission of identification numbers. In the second part, we explain how we showed, in a school context, daily applications of modular arithmetic, using animated, practical and tangible examples, as well as the appropriate software programs.