Integrabilidade Clássica e quântica: uma abordagem algébrica

Abstract

Algumas definições e resultados sobre sistemas integráveis são apresentados: completa integrabilidade, par de Lax, superintegrabilidade, separabilidade de sistemas hamiltonianos, redução de Kazhdan, Kostant e Sternberg para obtenção do sistema racional de Calogero-Moser. Estabelecem-se condições sob as quais, num sistema hamiltoniano, os integrais de movimento gerados a partir de integrais segundos definem uma álgebra quadrática. Este enquadramento teórico vai permitir perceber porque razão surgem estas álgebras em alguns sistemas, em particular nos sistemas racionais de Calogero generalizados clássico e quântico. Introduzem-se os sistemas algebricamente linearizáveis e dão-se como exemplos os sistemas racional e hiperbólico de Ruijsenaars-Schneider, assim como as respectivas perturbações definidas por Calogero, que os tornam isocrónicos. Apresentam-se ainda alguns comentários sobre a relação entre superintegrabilidade maximal e linearização algébrica. Prova-se que os sistemas de Calogero racional, racional com potencial confinante e hiperbólico generalizados, são algebricamente linearizáveis. No caso racional e no caso com potencial confinante, esta propriedade permite construir integrais segundos e provar que o sistema é superintegrável e isocrónico. Mostra-se ainda que o sistema de Calogero com potencial quártico admite um par de Lax. Por fim, estuda-se a linearização algébrica dos modelos de Calogero quânticos generalizados. A linearização algébrica permite provar a superintegrabilidade do sistema racional e, com a ajuda dos operadores de Dunkl, explicitar a álgebra quadrática que os seus integrais de movimento definem. Estabelece-se ainda a existência de um par de Lax para o sistema com potencial quártico, no entanto este não permite definir integrais do sistema por a matriz M não satisfazer a propriedade de soma total nula.