A geometria dos polinómios cúbicos em variedades riemannianas.

Abstract

Esta dissertação apresenta uma teoria geométrica baseada na generalização de polinómios cúbicos para variedades Riemannianas e inspirada na teoria clássica das geodésicas. É bem sabido que a teoria das geodésicas desempenha um papel fundamental no estudo da estrutura geométrica global das variedades Riemannianas. A generalização de polinómios cúbicos proposta permite desenvolver uma igualmente profícua incursão na geometria Riemanniana. Estabelece-se que os polinómios cúbicos generalizados são totalmente diferentes das geodésicas definidas no fibrado tangente, assegurando assim que a teoria apresentada nesta dissertação não se reduz a uma simples derivação da teoria das geodésicas para dimensão superior. Com o intuito de generalizar a teoria das geodésicas, são apresentadas condições de existência e unicidade para polinómios cúbicos. Nesse sentido, é definida uma aplicação que generaliza a aplicação exponencial da geometria Riemanniana. O principal objectivo desta dissertação é a caracterização de minimizantes locais entre os polinómios cúbicos. Generaliza-se a teoria dos campos de Jacobi e dos pontos conjugados. Apresentam-se condições necessárias e suficientes de optimização baseadas na inexistência de pontos conjugados. Obtem-se ainda uma outra condição suficiente de optimização que não se baseia nas noções de campos de Jacobi e de pontos conjugados. Em particular, estabelece-se que pequenos segmentos de polinómios cúbicos são minimizantes locais. Finalmente, generaliza-se o teorema do índice da teoria das geodésicas.