Integradores simplécticos aditivos

Abstract

Durante a última década surgiu uma nova forma de encarar a resolução numérica de equações diferenciais ordinárias. Enquanto que antes a ênfase era posta na resolução de um problema específico de forma o mais precisa possível, as questões agora consideradas são de índole mais qualitativa e, não raramente, dizem respeito a todo o retrato de fase da equação.Com esta nova abordagem, vulgarmente designada por "Integração Geométrica", os primeiros problemas considerados foram os Hamiltonianos. Para resolver numericamente estes problemas, os integradores simplécticos assumiram desde logo um lugar de destaque uma vez que, como é sabido, os sistemas Hamiltonianos se caracterizam pelo facto de o seu fluxo ser uma transformação simpléctica. Nesta dissertação efectuou-se um estudo sobre a classe geral de integradores simplécticos de passo único que têm em conta a estrutura aditiva do segundo membro das equações diferenciais a resolver. Esta família de métodos torna-se metodologicamente útil uma vez que todos os outros métodos de passo único simplécticos resultam dela como casos particulares. Para que o estudo desenvolvido fosse o mais geral possível, recorreu-se à teoria das chamadas NB-séries. Esta teoria permitiu estabelecer uma condição necessária e suficiente para que um integrador aditivo seja uma transformação simpléctica. Foi ainda desenvolvido um estudo geral para a ordem de consistência de um integrador aditivo bem como estabelecida a forma dos coeficientes da NB-série que resulta da composição de duas outras NB-séries. Este último resultado permitiu efectuar a análise regressiva do erro para o caso simpléctico. A teoria desenvolvida é, no final da dissertação, aplicada no estudo da classe de métodos de Runge-Kutta aditivos, métodos esses que são comparados quanto à sua eficiência na resolução numérica de problemas que resultam da discretização espacial de equações com derivadas parciais com estrutura Hamiltoniana.