Some aspects of descent theory and applications

Abstract

This thesis is an exposition of the author's contribution on effectivedescent morphisms in various categories of generalized categoricalstructures. It consists of: Chapter 1, where an elementary description ofdescent theory and the content of each remaining chapter is provided,supplemented with references; Chapter 2, consisting of various descenttheoretical definitions and results employed in the remainder of this work;four chapters, each corresponding to an article written by the author duringthe period of his PhD studies.In Chapter 3, we describe conditions for which a $ \mathcal V $-functor tois an effective descent morphism in the category $ \mathcal{V} \text{-}\mathsf{Cat} $ of $ \mathcal V $-categories, where $ \mathcal V $ is acartesian monoidal category with finite limits. Since these conditions relyon understanding (effective) descent morphisms in the free coproductcompletion $ \mathsf{Fam}(\mathcal V) $ of the category $ \mathcal V $, wealso carried out a study of such morphisms. We show how these results may beapplied to describe the effective descent $ \mathcal V $-functors for thecategories $ \mathcal V = \mathsf{CHaus} $ of compact Hausdorff spaces and $\mathcal V = \mathsf{Stn} $ of Stone spaces. The main reference of thischapter is the single-authored article \textit{On effective descent$\mathcal V$-functors and familial descent morphisms, arXiv:2305.04042, DMUC preprints 23-13}, under review.We study effective descent morphisms for generalized multicategoriesinternal to a category $ \mathcal V $ with finite limits in Chapter 4,proposing two approaches to obtain their description. The first approachrelies on depicting the category $ \mathsf{Cat}(T,\mathcal V) $ of $ T$-categories internal to $ \mathcal V $ as a 2-dimensional limit, whichprovides a method of studying their effective descent morphisms. The secondapproach extends Ivan Le Creurer's techniques on internal categories to thesetting of generalized internal multicategories. As a consequence of thiswork, we provide conditions for functors between internal multicategories tobe of effective descent, as well as for functors between internal gradedcategories (by an internal monoid), internal operadic multicategories and``enhanced'' multicategories. The main reference for this chapter is thearticle \textit{Descent for internal multicategory functors}, published in\textit{Applied Categorical Structures, vol. 31, n. 11, 2023}, with FernandoLucatelli Nunes.Furnished with the results for effective descent morphisms in internalgeneralized multicategories, Chapter 5 aims to extend these results to thesetting of \textit{enriched} generalized multicategories -- the so-called $(T, \mathcal V)$-categories. This is accomplished by extending the embeddingof ``enriched $ \to $ internal'' categories to the setting of generalized multicategories, via a broad notion of \textit{change-of-base} for generalized categorical structures, which we specialize to our setting. We discuss the conditions under which the embedding $ (\overline{T}, \mathcalV)\text{-}\mathsf{Cat} \to \mathsf{Cat}(T,\mathcal V) $ exists and whetherit reflects effective descent morphisms. Finally, we show these results canbe applied to the enriched counterparts of the multicategories considered inChapter 4. More precisely, we obtain descriptions of the effective descentfunctors between enriched multicategories, enriched graded categories,enriched operadic multicategories, and the discrete counterparts to the``enhanced'' multicategories. The main reference for this chapter is thearticle \textit{Generalized multicategories: change-of-base, embedding anddescent, arXiv:2309.08084, DMUC preprints 23-29}, under review, with Fernando LucatelliNunes.Chapter 6 considers the techniques used by Sobral to study effective descentfunctors with respect to the fibration of discrete opfibrations under a newperspective. More specifically, we first highlight the relationship betweenthe Cauchy completion of $ \mathcal V $-enriched categories and the $\mathcal V $-fully faithful lax epimorphisms: the latter are precisely those$\mathcal V$-functors that induce an equivalence on the Cauchy completions.Second, we show that the study of effective descent functors with respect toa suitable pseudofunctor $ \mathsf{Cat}^\mathsf{op} \to \mathsf{CAT} $ canbe simplified via formal methods. Combining these two ideas, we confirm thatSobral's characterization can be extended, showing the same conditionsalso characterize the effective descent morphisms with respect to thefibration of \textit{split opfibrations}. The main reference for thischapter is the article \textit{Cauchy completeness, lax epimorphisms andeffective descent for split fibrations}, published in \textit{Bulletin ofthe Belgian Mathematical Society -- Simon Stevin, vol. 30, n. 1, 2023}, withFernando Lucatelli Nunes and Lurdes Sousa.

Esta tese é uma exposição das contribuições do autor sobre morfismos dedescida efetiva em várias categorias de estruturas categoriaisgeneralizadas. É consistido por: Capítulo 1, onde é fornecida uma descriçãoelementar sobre a teoria de descida e o conteúdo dos demais capítulos,complementado com referências bibliográficas; Capítulo 2, composto porvárias definições e vários resultados da teoria de descida empregues narestante obra; quatro Capítulos, correspondendo a cada artigo escrito peloautor durante o período dos seus estudos doutorais.No Capítulo 3, descrevemos condições para que um $ \mathcal V $-functor sejade um morfismo de descida efetiva na categoria $ \mathcal{V} \text{-}\mathsf{Cat} $ de $ \mathcal V $-categorias, onde $ \mathcal V $ é umacategoria monoidal cartesiana com limites finitos. Como estas condiçõesdependem do conhecimento dos morfismos de descida (efetiva) no completamentolivre $ \mathsf{Fam}(\mathcal V) $ da categoria $ \mathcal V $ paracoprodutos, também se desempenhou um estudo de tais morfismos. Demostramoscomo estes resultados podem ser aplicados para descrever os $ \mathcal V$-functores de descida efetiva para as categorias $ \mathcal V =\mathsf{CHaus} $ de espaços de Hausdorff compactos e $ \mathcal V =\mathsf{Stn} $ de espaços de Stone. A referência principal deste capítulo éo artigo de autoria única \textit{On effective descent $\mathcal V$-functorsand familial descent morphisms, arXiv:2305.04042, pré-publicações DMUC23-13}, sob revisão.Estudamos morfismos de descida efetiva para multicategorias generalizadasinternas a uma categoria $ \mathcal V $ com limites finitos no Capítulo 4,propondo duas abordagens para obter a sua descrição. A primeira abordagemrecorre a uma descrição da categoria $ \mathsf{Cat}(T,\mathcal V) $ de $ T$-categorias internas a $ \mathcal V $ como um limite de dimensão 2, queproporciona um método para o estudo dos seus morfismos de descida efetiva.A segunda abordagem extende as técnicas de Ivan Le Creurer para a descriçãode morfismos de descida efetiva em categorias internas para o contexto dasmulticategorias internas generalizadas. Como consequência destas descrições,fornecemos condições para que functores entre multicategorias internas sejamde descida efetiva, tal como functores entre categorias graduadas internas(por um monóide interno), multicategorias operádicas internas, emulticategorias ``aprimoradas''. A referência principal para este capítulo éo artigo \textit{Descent for internal multicategory functors}, publicado em\textit{Applied Categorical Structures, vol. 31, nº 11, 2023}, com FernandoLucatelli Nunes.Munido com os resultados sobre morfismos de descida efetiva emmulticategorias generalizadas internas, o Capítulo 5 pretende extender estesresultados para o contexto das multicategorias generalizadas\textit{enriquecidas} -- as ditas $(T,\mathcal V)$-categorias. Isto foiconcretizado através de uma extensão da imersão de categorias ``enriquecidas$ \to $ internas'' para o ambiente das multicategorias generalizadas,através de uma noção abrangente de \textit{mudança de base} para estruturascategoriais generalizadas, que especializamos para o nosso contexto. Sãotambém discutidas as condições sob as quais é possível levar a cabo uma talextensão, e quando é, se $ (\overline{T}, \mathcal V)\text{-}\mathsf{Cat}\to \mathsf{Cat}(T,\mathcal V) $ reflete morfismos de descida efetiva.Finalmente, demostra-se que estes resultados podem ser aplicados àsmulticategorias enriquecidas associadas às consideradas no Capítulo 4. Maisprecisamente, obtemos descrições para os morfismos de descida efetiva entremulticategorias enriquecidas, categorias graduadas enriquecidas,multicategorias operádicas enriquecidas, e os análogos discretos dasmulticategorias ``aprimoradas''. A referência principal para este capítuloé o artigo \textit{Generalized multicategories: change-of-base, embeddingand descent, arXiv:2309.08084, pré-publicações DMUC 23-29}, sob revisão, com FernandoLucatelli Nunes.O Capítulo 6 considera as técnicas utilizadas por Sobral no estudo demorfismos de descida efetiva em relação ao fibrado dos opfibrados discretossob uma nova perspetiva. Mais especificamente, realçamos, em primeiro lugar,a relação entre o completamento de Cauchy para categorias enriquecidas em $\mathcal V $ e os epimorfismos lassos $ \mathcal V $-plenamente fiéis: estesúltimos são precisamente os $\mathcal V$-functores que induzem umaequivalência nos completamentos de Cauchy. Em segundo lugar, mostramos que oestudo de morfismos de descida efetiva em relação a um pseudofunctor $ \mathsf{Cat}^\mathsf{op} \to \mathsf{CAT} $ pode ser simplificado atravésde métodos formais. Combinando estas duas ideias, confirmamos que acaracterização de Sobral pode ser extendida, mostrando que as mesmascondições também caracterizam os morfismos de descida efetiva em relação aopseudofunctor de \textit{opfibrados cindidos}. A referência principal paraeste capítulo é o artigo Cauchy completeness, lax epimorphisms and eff