On lax idempotent monads in topology

Abstract

The main source of inspiration for this work is Lawvere's seminal paper: Metric spaces, generalized logic, and closed categories. We wish to highlight two surprising examples of the deep relation between category theory and classic metric theory, from Lawvere's paper: 1 - a (quasi)metric space X is a simply a category whose objects are the points of X and the distance d(x,y) is the hom-set X(x,y). 2 - Cauchy sequences correspond to adjoint distributors and their convergence corresponds to representability of such distributors. Not only are these examples striking, they are also useful in guiding mathematical research. As Lawvere himself pointed out: ``this connection is more fruitful than a mere analogy, because it provides a sequence of mathematical theorems so that enriched category theory can suggest new directions of research in metric space theory and conversely". The first observation is the fundamental motivation behind the study of quantale-enriched categories as a generalisation of metric spaces, while the second insight can be generalised to give us a categorical notion of Cauchy completeness in terms of weighted colimits in enriched category theory. We start by recalling a few fundamental notions about V-Cat, V-Rel and V-Dist, where V is a quantale, which will be essential for the remainder of this work. Then we present a new proof that V-Cat^op is a quasivariety, making use of certain monadicity conditions, comma categories and the category V-ccd which generalises the category ccd of constructively complete distributive lattices. We followed Lawvere's suggestion and generalised the formal ball monad, which is a central tool in the study of metric theory, to a quantale-enriched setting. Our work proved fruitful, as we obtained a characterisation of the (Eilenberg-Moore) algebras for the formal ball monad as the V-categories with a particular class of weighted colimits. By restricting our focus to separated V-categories we also obtained an interesting characterisation of a certain class of embeddings. Later we present two characterisations of the submonads of the presheaf monad: one in terms of a special class of V-distributors; and another as those monads which are fully BC*, lax idempotent and satisfy certain full faithfulness conditions. By BC*, we mean a new Beck-Chevalley type condition which gives us an interaction between V-Cat and V-Dist, analogous to the interaction between Set and Rel given by the usual Beck-Chevalley condition on Set. After doing a brief survey about characterisations of the (Eilenberg-Moore) algebras for these submonads we present a new characterisation motivated by our results on the special case of the formal ball monad. The presheaf monad is deeply related to Cauchy completeness, in fact, the Cauchy completion of a category can be obtained from ``choosing" the correct presheaves. Alternatively we can describe the Cauchy completion of a category through its Karoubi envelope (or idempotent completion). In this setting, we show how the Karoubi envelope of V-Rel is equivalent to the Karoubi envelope of V-Dist, which parallels nicely the classical equivalence between the Karoubi envelopes of Rel and Idl. Finally, we use the equivalence between V-Dist and the Kleisli category of the presheaf monad on V-Cat to obtain a new equivalence relating the Karoubi envelope of V-Rel and the split idempotent completion of the category of (Eilenberg-Moore) algebras of V-Cat.

A principal fonte de inspiração para este trabalho é o artigo seminal de Lawvere: Metric spaces, generalized logic, and closed categories.Queremos destacar dois exemplos surpreendentes deste artigo de Lawvere sobre a profunda relação entre a teoria das categorias e a teoria métrica clássica:1 - um espaço (quasi)métrico X é simplesmente uma categoria cujos objetos são os pontos de x e a distância d(x,y) é o hom-conjunto X(x,y). 2 - As sucessões de Cauchy correspondem a distribuidores adjuntos e a convergência destas sucessões corresponde à representabilidade de tais distribuidores. Estes exemplos não são apenas impressionantes, mas também úteis para orientar a pesquisa matemática. Como o próprio Lawvere salientou: ``this connection is more fruitful than a mere analogy, because it provides a sequence of mathematical theorems so that enriched category theory can suggest new directions of research in metric space theory and conversely". A primeira observação é a motivação fundamental por trás do estudo de categorias enriquecidas num quantale como uma generalização de espaços métricos, enquanto que a segunda pode ser generalizada para nos dar uma noção categórica da completude de Cauchy em termos de colimites ponderados na teoria de categorias enriquecidas. Começamos por relembrar algumas noções fundamentais sobre V-Cat, V-Rel e V-Dist, onde V é um quantale, que serão essenciais para o resto deste trabalho. De seguida apresentamos uma nova prova que V-Cat^op é uma quasivariedade, utilizando certas condições de monadicidade, categorias comma e a categoria V-ccd que generaliza a categoria ccd dos reticulados construtivamente completamente distributivos. Seguimos a sugestão de Lawvere e generalizamos a mónada das bolas formais, que é uma ferramenta central no estudo da teoria métrica, para um contexto enriquecido. O nosso trabalho mostrou-se frutífero, pois obtivemos uma caracterização das álgebras (de Eilenberg-Moore) para a mónada das bolas formais como as V-categorias com uma certa classe de colimites ponderados. Ao restringir a nossa atenção a V-categorias separadas, também obtivemos uma caracterização interessante de uma certa classe de imersões. Posteriormente apresentamos ainda duas caracterizações para as submónadas da mónada dos pré-feixes: uma em termos de uma classe especial de V-distribuidores; e outra como aquelas mónadas que são totalmente BC*, lax idempotentes e que satisfazem certas condições de fidelidade plena. Por BC*, queremos dizer uma nova condição do tipo Beck-Chevalley que nos dá uma interação entre V-Cat e V-Dist, análoga à interação entre Set e Rel dada pela usual condição de Beck-Chevalley em Set. Depois de relembrarmos algumas caracterizações das álgebras (de Eilenberg-Moore) para estas submónadas apresentamos uma nova caracterização motivada pelos nossos resultados no caso especial da mónada das bolas formais. A mónada dos pré-feixes está profundamente relacionada com a completude de Cauchy, de facto, a completude de Cauchy de uma categoria pode ser obtida a partir de uma ``escolha correta" de pré-feixes. Neste contexto, mostraremos como o envelope de Karoubi de V-Rel é equivalente ao envelope de Karoubi de V-Dist, o que está em paralelo com a equivalência clássica entre os envelopes de Karoubi de Rel e Idl. Finalmente, usamos a equivalência entre V-Dist e a categoria Kleisli da mónada dos pré-feixes em V-Cat para obter uma nova equivalência relacionando o envelope Karoubi de V-Rel e a completude de idempotentes cindidos da categoria das álgebras (de Eilenberg-Moore) de V-Cat.