Sharp regularity for degenerate fully nonlinear equations

Abstract

O principal objetivo desta tese é obter novos resultados de regularidade para equações degeneradas completamente não lineares. Por forma a manter o texto o mais auto-contido possível, começamos por apresentar um estudo completo das equações uniformemente elípticas, incluindo propriedades básicas de soluções de viscosidade, a desigualdade Aleksandrov-Bakelman-Pucci que implica um controlo pontual da solução através de um controlo em medida do termo fonte e usamos este resultado para obter um resultado de regularidade inicial. Este resultado é então usado para obter regularidade ótima para a equação homogénea com coeficientes fixos. Usando um argumento geométrico tangencial, conseguimos então obter um resultado de regularidade para a equação não homogénea de coeficientes variáveis. De seguida, estudamos problemas degenerados não lineares de transmissão livre, onde a degenerecência varia no domínio. Provamos regularidade ótima pontual, dependendo da degenerecência. Os nossos argumentos consistem em métodos de perturbação, relacionando o nosso problema com um homogéneo, não linear, uniformemente elíptico, como o estudado na primeira parte da tese, para o qual temos regularidade optimal disponível. Finalmente, examinamos equações de Hamilton-Jacobi controladas por um operador degenerado não linear, na presença de um Hamiltoniano super-linear. Explorando a desigualdade de Ishii-Jensen, provamos que soluções viscosas são Lipschitz-contínuas, com estimativas dependendo das condiçõesestruturais do problema. Concluímos este capítulo com uma aplicação dos nossos resultados a um problema com fronteira livre de duas fases.

The main purpose of this thesis is to obtain new regularity results for degenerate fully nonlinear equations. In order to keep the text as self-contained as possible, we begin by studying uniformly elliptic equations, including basic properties of viscosity solutions, the Aleksandrov-Bakelman-Pucci estimate, which implies a pontual control of the solution by a measure control of the source term and we use this result to obtain an initial regularity result. This result if then used to obtain optimal regularity for a homogeneous equation with fixed coefficients. Using a geometric tangential argument, we obtain a regularity result for the nonhomogeneous equation with variable coefficients. Next we study degenerate fully nonlinear free transmission problems, where the degeneracy rate varies in the domain. We prove optimal pointwise regularity depending on the degeneracy rate. Our arguments consist of perturbation methods, relating our problem to a homogeneous, fully nonlinear, uniformly elliptic equation, as studied in the first part of the thesis, for which we have optimal regularity readily available. Finally, we examine Hamilton-Jacobi equations driven by fully nonlinear degenerate elliptic operators in the presence of superlinear Hamiltonians. By exploring the Ishii-Jensen inequality, we prove that viscosity solutions are locally Lipschitz-continuous, with estimates depending on the structural conditions of the problem. We conclude this chapter with an application of our findings to a two-phase free boundary problem.