Formação de padrões espaciais em sistemas biológicos

Abstract

A formação de padrões na Natureza é atualmente um tópico central de investigação em várias áreas, incluindo na biologia teórica, isto é na área da biologia que utiliza modelos matemáticos de modo intensivo. Neste trabalho, estudamos vários modelos de sistemas de equações com derivadas parciais que pretendem explicar este fenómeno. As principais questões que abordamos são relativas ao estabelecimento de condições que levam à formação de padrões e ao tipo de imagem que esses padrões poderão exibir. Começamos por estabelecer o modelo pioneiro de reação-difusão proposto por Alan Turing, no seu trabalho pioneiro "The chemical basis of morphogenesis" [1] para explicar a formação de padrões durante o desenvolvimento do embrião. Analisamos as instabilidades de Turing e apresentamos simulações numéricas que ilustram o conceito para uma classe de reações químicas. Motivados por questões recentes, surgidas no âmbito da biologia, apresentamos modelos que incluem outro tipo de fenómenos para além da difusão e da reacção: afinidades químicas ou presença de fluxos. No primeiro caso, é analisado um sistema de reação-difusão que inclui afinidades químicas e no segundo caso, é explorado um sistema de reaçãodifusão- convecção. Alguns dos resultados relativos a estes modelos resultaram de desenvolvimentos de abordagens apresentadas na bibliografia consultada. Para cada um dos modelos estudados foi desenvolvida uma análise linear e exibidas simulações numéricas ilustrativas.

Pattern formation in Nature is nowadays an intense research topic in several areas, including mathematical biology. In this master thesis we consider some models based on systems of partial differential equations that pretend to explain this phenomenon. Our main concern is to understand which conditions lead to a pattern formation and how that patterns would look like. We start by deducing the pioneer reactiondiffusion model proposed by Alan Turing in his seed paper "The chemical basis of morphogenesis" [1] to explain the pattern formation during the early stages of embryo development. We analyze Turing instabilities and present numerical simulations for a class of chemical reactions. Motivated by recent biological issues, we present and analyze other models which include binding effects of chemicals and the presence of a flux. In the first case, we analyze a three species reaction-diffusion system and, in the second case, we explore a reaction-diffusion-advection system. Some of the results concerning these models are developments of mathematical arguments found in the consulted works. For each case a linear analysis is developed and numerical simulations are exhibited.