Álgebras Celulares

Abstract

As álgebras celulares estão presentes em várias áreas da Matemática e da Física e surgem, sobretudo, sob a forma de álgebras de diagramas. As álgebras de Brauer, as q-álgebras de Schur, as álgebras de Ariki-Koike, as álgebras de Temperley-Lieb e as álgebras de Birman-Wenzl são exemplos importantes desta classe de álgebras. A noção de álgebra celular foi introduzida por Graham e Lehrer, em 1996. Estas álgebras foram, então, definidas à custa de uma base finita com certas propriedades combinatórias, particularmente úteis para o seu estudo. Mais tarde, em 1998, König e Xi apresentaram uma outra definição, mais conceptual, de álgebra celular, a qual nos permite trabalhar nestas álgebras independentemente da base considerada. Uma das características importantes das álgebras celulares é a sua estrutura celular. Esta estrutura permite a classificação completa dos seus módulos simples. Nesta dissertação, conjugando as definições de Graham e Lehrer e de König e Xi, expomos algumas das propriedades principais das álgebras celulares, classificamos os seus módulos simples e apresentamos alguns exemplos importantes destas álgebras, nomeadamente, as álgebras de Brauer.

Cellular algebras arise in many fields of Mathematics and Physics, often in the form of diagram algebras. The Brauer algebra, the q-Schur algebra, the Ariki-Koike algebra, the Temperley-Lieb algebra and the Birman-Wenzl algebra are examples of this type of algebras. The concept of cellular algebra was introduced by Graham and Lehrer, in 1996. These algebras were defined by the existence of a basis with certain combinatorial properties, which are highly suitable for studying the algebras in question. Later, in 1998, König and Xi presented a more conceptual definition of cellular algebra which allows us to work in these algebras regardless of a basis choice. One of the most important features of cellular algebras is their cellular structure. This structure leads to a complete classification of the simple modules of a cellular algebra. In this dissertation we introduce some of the main properties of cellular algebras, classify their simple modules and present some important examples of these algebras, namely the Brauer algebra. This is done combining the definitions of Graham and Lehrer and of König and Xi.