Alguns resultados em teoria aditiva linear.

Abstract

Nesta dissertação estudam-se alguns resultados de álgebra linear que são formalmente análogos a determinado tipo de resultados de teoria aditiva dos números. A interligação entre estes dois tipos de resultados foi utilizada principalmente por Marcus e Ali, Spigler e Dias da Silva e Hamidoune. Os resultados de álgebra linear considerados estabelecem minorantes para o grau do polinómio mínimo e minorantes para a soma dos graus na cadeia de polinómios invariantes de transformações lineares que são construtíveis, através de uma aritmética tensorial, a partir de transformações lineares dadas num espaço vectorial, como acontece, por exemplo, com a soma e o produto de Kronecker de duas transformações lineares.São usados resultados de teoria aditiva dos números para obter um minorante para o grau do polinómio mínimo do produto de Kronecker de duas transformações lineares e a respectiva caracterização dos casos de igualdade. São também usados resultados de teoria aditiva dos números para obter uma caracterização dos casos de igualdade no minorante para o grau do polinómio mínimo da soma de Kronecker de duas transformações lineares que foi obtido por Dias da Silva e Hamidoune em 1990. Usando técnicas de álgebra linear, obtém-se um minorante para o grau do polinómio mínimo da restrição da derivação associada a uma transformação linear a classes simétricas de tensores associadas a caracteres absolutamente irredutíveis do grupo simétrico. Usando resultados de álgebra linear, obtêm-se minorantes para a soma dos graus na cadeia de polinómios invariantes da soma de Kronecker de duas transformações lineares e da restrição da derivação associada a uma transformação linear a um espaço de Grassmann de grau 2. A partir destes dois resultados de álgebra linear obtêm-se resultados de teoria aditiva dos números sobre as multiplicidades dos elementos da soma de dois subconjuntos de um corpo arbitrário e sobre as multiplicidades dos elementos do conjunto das somas de dois elementos distintos de um subconjunto de um corpo.