Vizinhanças da diagonal no sentido de Weil em reticulados locais

Abstract

Estruturas de uniformidade nos reticulados locais e suas generalizações (quase-uniformidades, adjacências, quase-adjacências, proximidades, contíguidades, etc.) constituem o tema central desta dissertação. Estas estruturas de uniformidade foram introduzidas por J. Isbell em 1972, traduzindo nos reticulados locais a noção de uniformidade de um espaço, em termos de coberturas abertas, inspirada na abordagem de J. Tukey aos espaços uniformes. O objectivo principal desta tese é o de mostrar que, tal como no caso dos espaços, existem outras maneiras de descrever estas estruturas. Cumprimos esse objectivo provando que os reticulados locais uniformes e quase-uniformes podem ser descritos à maneira clássica de A. Weil, em termos das chamadas vizinhanças da diagonal. A noção de vizinhança da diagonal revela-se assim, também neste contexto, um conceito básico sobre o qual diversas ideias topológicas podem ser expressas de forma natural. Paralelamente, com o intuito de completar nos reticulados locais um quadro análogo ao existente para os espaços uniformes, mostramos como os reticulados locais uniformes podem ser descritos em termos de "estruturas de medida", isto é, famílias de diâmetros métricos satisfazendo determinados axiomas. Utilizando esta caracterização, obtemos uma motivação categorial para os reticulados locais uniformes do ponto de vista dos reticulados locais métricos, ao provar que a categoria dos reticulados locais uniformes admite uma imersão plena num completamento (final e universal) da categoria dos reticulados locais métricos.