Comparability between different systems: star-shaped and convex transform orders

Abstract

O conceito de envelhecimento de uma variável aleatória é usualmente caracterizado através de propriedades de monotonia de funções tais como a função de sobrevivência, função de taxa de falha, etc. Embora este tipo de propriedades nos permita estudar o comportamento de envelhecimento de um sistema cujo tempo de vida pode ser representado por uma variável aleatória, não nos permite comparar dois sistemas e determinar qual envelhece mais rapidamente. Para isso, é necessária a introdução do conceito de ordens de envelhecimento. Estas ordens são definidas através de relações entre funções que descrevem o tempo de vida de uma distribuição, tais como as funções referidas inicialmente. Embora comecemos por introduzir algumas noções de envelhecimento, bem como algumas das mais conhecidas ordens estocásticas, ao longo deste trabalho iremos estar maioritariamente interessados nas seguintes relações de ordem: ordens em forma de estrela e de transformação convexa. Estas ordens são de facto ordens de envelhecimento, uma vez que, captam o significado de um sistema envelhecer mais rapidamente do que outro. Pela maneira como são definidas -- através de uma propriedade de monotonia e convexidade, respectivamente, de uma função quantil --, nem sempre é fácil estabelecer directamente se dois sistemas são ou não comparáveis de acordo com estas ordens. Para responder a este problema, iremos introduzir algumas caracterizações baseadas numa técnica de variação de sinal que nos permitirão obter comparabilidade em forma de estrela e de transformação convexa entre várias famílias de distribuições. Iremos ainda aplicar estes critérios por forma a estabelecer condições sob as quais distribuições iteradas podem ser comparáveis com respeito a estas ordens e ao seu parâmetro de iteração. No entanto, para sistemas com distribuições que dependem de um grande número de parâmetros, tais como sistemas em série ou paralelos com componentes heterogéneas, estas caracterizações podem não ser suficientes para concluir ou não comparação com respeito a estas ordens. Assim, iremos apresentar uma extensão de um critério para a ordem em forma de estrela que permite comparar famílias de distribuições que dependem de apenas um parâmetro, para famílias de distribuições indexadas por vários parâmetros. Este novo critério irá ainda ser utilizado para estabelecer condições sob as quais existe comparação entre os diferentes sistemas complexos acima referidos. Finalmente, veremos que não é fácil concluir a comparabilidade em forma de estrela entre somas de variáveis aleatórias, mesmo usando os critérios introduzidos anteriormente, mas que o problema se torna mais simples se compararmos o produto de variáveis aleatórias.

The concept of ageing of a random variable is typically characterised by the monotonicity properties of functions such as the survival function, failure rate function, etc. Although this type of properties allows us to study the ageing behaviour of a system whose lifetime can be represented by a random variable, it does not allow us to compare two systems and determine which one ages faster. For this, it is necessary to introduce the concept of ageing orders. These orders are defined through relations between functions that describe the lifetime of a distribution, such as the functions initially mentioned. Although we start by introducing some ageing notions, as well as some of the most well known stochastic orders, our primary focus in this work will be exploring the star-shaped and convex transform orders. These are indeed ageing orders since they capture the meaning of one system ageing faster than another. However, establishing whether two systems are comparable according to these orders can be challenging due to their definition, which relies on the monotonicity and convexity properties of a quantile function. To address this challenge, we will introduce some characterisations based on a sign variation technique that will allow us to obtain star-shaped and convex transform comparability between several families of distributions. We will further apply these criteria in order to establish conditions under which iterated distributions may be comparable with respect to these orders and their iteration parameter. However, for systems with distributions depending on a large number of parameters, such as series and parallel systems with heterogeneous components, these characterisations may not be sufficient to determine comparability. To address this limitation, we will, in addition, present an extension of a criterion for the star-shaped order which allows for a comparison within families of distributions depending on only one parameter, to families of distributions indexed by several parameters. This new criterion will also be used to obtain conditions under which there is comparison between the different complex systems aforementioned. Finally, we will see that it is not easy to conclude star-shaped comparability between sums of random variables, even using the criteria introduced above, but that the problem becomes simpler if we compare instead the product of random variables.