Soluções numéricas para um problema de difusão de Knudsen

Abstract

Um processo de difusão é caracterizado pelo transporte de matéria devido ao movimento aleatório das moléculas. A difusão de Knudsen é um processo de difusão anómalo que ocorre em meios porosos, onde o transporte de matéria é efetuado maioritariamente pela colisão das moléculas com as paredes do meio. Nesta dissertação apresentamos um modelo que envolve difusão anómala. Este modelo é descrito por uma equação integro-diferencial que envolve um operador diferencial, que é uma derivada fracionária de Riemann-Liouville no tempo. A solução analítica de equações que utilizam derivadas fracionárias não é fácil de obter analiticamente e, por isso, é necessário recorrer a métodos numéricos com vista a encontrar soluções aproximadas. Vamos apresentar essencialmente dois métodos numéricos, um explícito e um implícito no tempo. A derivada fracionária é aproximada pela denominada fórmula de Grünwald-Letnikov. Estes métodos numéricos só terão interesse se forem estáveis e convergirem para a solução exata, pelo que a sua convergência é analisada através da análise de Fourier e do método da energia.

A diffusion process is characterized by the transport of matter as a result of random molecular motion. Knudsen diffusion is a anomalous diffusion process, which occurs in porous media, and where the transport of matter is mostly due to the collision of molecules with he inside walls. In this thesis, we present a model that involves anomalous diffusion. It is described by a integro-differential equation, which involves the Riemann-Liouville fractional derivative in time. The analytical solution of equations that involve fractional derivatives are difficult to obtain and therefore, we need to use numerical methods in order to find approximate solutions. We will present two numerical methods, an implicit and an explicit in time. The fractional derivative is approximated by Grünwald-Letnikov formula. These numerical methods need to be stable and converge to the exact solution. Hence the convergence and stability of the numerical methods are studied through the Fourier analysis and the energy method.