Estimação de funções de densidade neutras face ao risco: um estudo comparativo

Abstract

O estudo aqui apresentado consiste, fundamentalmente, na implementação e teste de duas abordagens para a estimação da função de densidade de risco neutro, utilizando para esse fim, os preços de opções de compra obtidos através da fórmula de Black-Scholes ou da fórmula de Heston e, posteriormente, preços do índice S&P 500, transacionados no mercado Chicago Board Options Exchange (CBOE). Neste âmbito foram testadas duas abordagens paramétricas: a mistura de duas densidades lognormais e a densidade beta generalizada do tipo 2.A implementação destas duas abordagens paramétricas, foi feita, fundamentalmente, com recurso ao software R. Aqui utilizámos os pacotes Risk Neutral Density Extraction Package (RND), Generalized Beta Distribution of the Second Kind (GB2) e Numerical Methods and Optimization in Finance (NMOF). Neste estudo utilizámos os resultados do artigo de Fengler e Hin, para escalonar os dados de entrada do problema, com o objetivo de melhorar o condicionamento dos problemas de otimização envolvidos na estimação dos parâmetros da função de densidade de risco neutro. Estas duas abordagens foram analisadas, recorrendo à comparação dos preços teóricos e de mercado com os preços estimados, através das duas abordagens, inicialmente por via da análise gráfica e, posteriormente, utilizando o root mean square error (RMSE), de modo a obter uma análise mais precisa.Consequentemente, fizemos uma análise gráfica da função de densidade de risco neutro, de acordo com as duas abordagens estudadas, para os vários conjuntos de dados. De acordo com esta análise, salientámos alguns aspetos relativos à função de densidade de risco neutro, como a assimetria e o peso das caudas da distribuição, e de que maneira estas podem ser reveladoras de sentimentos da economia.

The present study consists, specifically, on the implementation and testing of two approaches to estimating risk-neutral probability density functions, using for this purpose the price options obtained through the Black-Scholes formula or the Heston formula and, later, of index S&P 500, traded on the Chicago Board Options Exchange (CBOE) market. In this context were tested two parametric approaches: the mixture of two lognormal densities and the generalized beta of the second kind.The implementation of these two parametric approaches was made, fundamentally, using software R. We used the Risk Neutral Density Extraction Package (RND), Generalized Beta Distribution of the Second Kind (GB2) and Numerical Methods and Optimization in Finance (NMOF) packages. In this study, we used the results of the Fengler and Hin article to stagger the input data of the problem in order to improve the conditioning of the optimization problems involved in the estimation of the parameters of the risk-neutral density function.These two approaches were analyzed by comparing the theoretical and market prices with the estimated prices, through the two approaches, initially through graphical analysis and later using the root mean square error (RMSE), in order to obtain a more precisely analysis.Consequently, we performed a graphical analysis of the risk-neutral density function, according to the two approaches studied, for the various datasets. According to this analysis, we have highlighted some aspects of the risk-neutral density function, such as the asymmetry and the weight of the tails of the distribution, and how these can be revealing of economic sentiments.