O Axioma da Determinabilidade e propriedades dos números reais

Abstract

A análise real é familiaríssima e desconhecidíssima. A familiaridade vem-lhe da física e do cálculo e da geometria e das finanças, e muita intuição que outorga números a espaço e tempo e investimento, o mais das vezes abstraindo as funções reais de fenómenos discretos; vem-lhe a estranheza de respeitar a um conjunto \mathbb{R}, encafuado numa axiomática e rico em propriedades indecidíveis. Na verdade, não há princípios bem-conhecidos que eliminem as patologias da análise e deem uma descrição completa de \mathbb{R} e dos seus subconjuntos; o usual é haver escâmbios, onde uma barbaridade contrapesa um bom expediente (como o paradoxo de Banach-Tarski e o Lema de Zorn em \mathbb{R}), e dúvidas nas condições topológicas dos conjuntos, e questões sobre o tamanho do continuum (a prevalência da propriedade de Baire, da mensurabilidade à Lebesgue, etc, depende da axiomática adotada; e as cardinalidades de subconjuntos de \mathbb{R} variam entre o universo binário da Hipótese do Contínuo e a presença de conjuntos de Dedekind cujas cardinalidades são tão diversas como o continuum; e mesmo admitindo que \mathbb{R} é bem-ordenado, o continuum pode ser igual a qualquer um dos cardinais \aleph_n, com n \qeq 1, e a Hipótese do Contínuo pode ser falsa). Estudaremos alguns axiomas que regularizam a análise real e a topologia de \mathbb{R} com um mínimo de abnormidades colaterais: o Axioma da Determinabilidade, o Axioma das Escolhas Numeráveis e a omni-mensurabilidade à Lebesgue. Também veremos algumas relações entre esses postulados e propriedades dos ordinais numeráveis.

Real analysis is strange and familiar. The familiarity comes to it from physics and calculus and geometry and finance, and much intuiting of figures from space and time and investment, most of the time abstracting real-valued functions from discrete phenomena; the strangeness comes from being concerned with a set \mathbb{R}, ensconced in an axiomatic theory and having virtually undecidable predicates. There are in fact no easy principles which can be counted on to do away with the problems of real analysis and give a full description of \mathbb{R} and its subsets; one must usually rely on trade-offs wherein an axiom is shown to have a barbarous corollary (as Zorn's Lemma is to the Banach-Tarski paradox), and the understanding of one point raises other questions about topology in \mathbb{R} and the size of the continuum (the prevalence of the Baire property, Lebesgue measurability, etc, depends on the adopted theory; and the cardinalities contained in \mathbb{R} can vary between the binary dictum of the Continuum Hypothesis and Dedekind sets that assume continuum-many different sizes; and even allowing \mathbb{R} to be well-ordered, the continuum can be assumed to equal any of the alephs \aleph_n, for n \geq 1). We shall expound on axioms which give a cleaner account of real analysis (and topology and set-theoretic properties of \mathbb{R}) without producing too many abnormalities: the Axiom of Determinacy, the Axiom of Countable Choice and the full Lebesgue measurability. We shall also broach some relations between these postulates and the numerable ordinals.