Heuristics in Problem Solving for the Teaching and Learning of Mathematics

Abstract

With the purpose of improving success in Mathematics and, concomitantly, the teaching and the learning process, this dissertation is based on heuristics and on theoretical and empirical context to explore examples of mathematical problems solved, as reasoned and effective alternative of experiential learning of problem based Mathematics. The investigation was guided by the questions: (1) Why the negative conception concerning Mathematics? (2) What are the cognitive processes activated during problem solving tasks? (3) How can teachers support the learning of Mathematics by promoting problem solving ability? (4) In what extent does the systematic practice of problem solving contribute to improve student’s performance? The main targets are teachers and students from Third Cycle (7th to 9th grade) and Secondary Education (10th to 12th grade), including Professional Courses, as well as educational experts that offer workshops in Centers for Instructional Development. For the feasibility of this project we initiated a variety of studies, some more theoretical oriented to explain the problem solving learning processes, and an empirical approach focus on teachers’ and their students’ performances. Through different methodological approaches the structural axis of this research was the compilation of detailed problem solving statements and resolutions processes with the purpose to create a problem solving Manual, to be further tested. The genesis of this work lies in the experiential problem solving context with teachers, mediators of such activity in the classroom with their students, in an accredited training course, which took place in two workshop editions, in Coimbra, between 2011 and 2013. 34 teachers participated and we considered the Kolb experiential learning model (1984) to sustain the training proposed. As characterization elements and efficacy measures we request teachers to answer a questionnaire of attitudes towards problem-solving, strategies for teaching math and problem solving, a written problem solving test evaluation, and problem solving questions to apply to students in the classroom, evaluated according previous established criteria, with the data gathering process ending in critical appraisal concerning students’ knowledge and skills in a reflective portfolio. Some students (n = 96) answered to a questionnaire concerning math attitudes and 339 students answered to problem solving questions. This process was designed to help teachers getting aware about the effectiveness of the teaching and learning of heuristic procedures (Ponte, 1992). We noticed that the workshops of training were considered useful and pertinent. However, when problem solving activity was engaged, we observed compromising behaviors of success among teachers addressing learning and teaching strategies. As for the answers of the 96 students from 9th grade to the questionnaire attitudes towards math subject, were perceived correlations between: Beliefs/Motivation, External Control, Mood, Resources, Heuristics, and Knowledge Exhibition which validate Schoenfeld’s model about the mechanisms activated in the course of problem solving activity. Teachers’ testimonials, based on the outcome of their students in problem solving activities, suggest that the benefit from using heuristic procedures is the result of a continuous work during an extended period of time. The effect of sporadic intervention doesn’t produce consistent changes. The problem solving activity constitutes a preponderant factor in the teaching and learning process. Teachers and students are aware of its importance. Problem solving implementation in the classroom is compromised by the teacher’s duty to carry out the school year program and the student’s difficulty to perform autonomous work. Teachers’ problem solving continuous training is an opportunity to disseminate mathematical content and effective pedagogical practices. We suggest, in particular to the 9th grade, because it precedes Secondary Education that requires the choice of an educational pathway, allocated school time to the practice of mathematical problem solving. In this way it would be promoted, in continuous, cognitive processes that can help improve performances, with positive repercussions in various learning contexts. The results suggest that it is latent in the student a learning potential that is eventually curtailed by beliefs of failure and/or inadequate pedagogical practices. We hope that our contribution will help teachers and schools to incorporate problem solving practices in the classroom dynamics.

Com a intenção de melhorar o sucesso em Matemática e, concomitantemente, os processos de ensino e de aprendizagem, esta dissertação analisa de forma contextualizada o potencial da utilização de heurísticas e exemplos de problemas resolvidos, como alternativa fundamentada e efetiva de aprendizagem experiencial da Matemática. A investigação foi norteada pelas questões: (1) Porquê a conceção negativa a respeito da disciplina de Matemática? (2) Quais são os processos cognitivos ativados durante tarefas de resolução de problemas? (3) Como podem os professores favorecer a aprendizagem da Matemática pela promoção da capacidade de resolução de problemas? (4) Em que medida a prática sistemática da resolução de problemas contribui para melhorar o desempenho do estudante? São principais visados professores e alunos dos Ensinos Básico e Secundário, incluindo Cursos Profissionais, assim como formadores que ministram Cursos de Formação. Para a viabilização deste projeto levamos a cabo diferentes estudos, ora de cariz mais teórico-explicativo dos processos de aprendizagem e de resolução de problemas, ora com foco nas práticas do professor e desempenho dos alunos. Através de abordagens metodológicas diversas constituiu eixo estruturante deste trabalho a compilação de enunciados circunstanciados de problemas que resultaram num potencial contributo para a ulterior elaboração de um Manual de resolução de problemas, que depois de concebido deve ser testado. O estudo decorreu na sequência de uma experiência de formação acreditada de professores de Matemática, que se desenrolou em duas edições em modalidade de Oficina, em Coimbra, entre 2011 e 2013, tendo subjacente o modelo de aprendizagem experiencial de Kolb (1984). Colaboraram 34 professores de Matemática. Como elementos de caracterização e medidas de eficácia foi pedido aos professores que respondessem a um questionário de atitudes face à resolução de problemas, estratégias de ensino de Matemática e de resolução de problemas, a uma prova escrita de resolução de problemas, e aplicassem provas de resolução de problemas aos seus alunos, as quais avaliaram a partir de critérios partilhados, tendo o processo de recolha de dados culminado na apreciação crítica relativamente aos conhecimentos e competências dos alunos em portefólio reflexivo. Alguns alunos (n = 96) responderam a um questionário de atitudes face à disciplina de Matemática e 339 alunos responderam às provas de resolução de problemas ministradas. Teve este processo a finalidade de auxiliar os professores a consciencializarem-se da eficácia do ensino e da aprendizagem de procedimentos heurísticos (Ponte, 1992). Verificámos que a oficina de formação foi considerada útil e pertinente. Contudo, em momentos formais, observaram-se entre os professores comportamentos comprometedores do sucesso no ensino e aprendizagem de estratégias de resolução de problemas. Quanto às respostas dos 96 alunos do 9º Ano de Escolaridade ao questionário de atitudes relativamente à disciplina de Matemática, surgiram correlacionadas as subescalas de: Crenças/Motivação, Controlo Externo, Disposição, Recursos, Heurísticas e Conhecimento Manifestado, o que reflete a validade do modelo de Schoenfeld a respeito dos mecanismos ativados durante o processo de resolução de problemas. Os depoimentos dos professores, alicerçados nos resultados dos seus alunos nas atividades de resolução de problemas, sugerem que o benefício da utilização de procedimentos heurísticos resulta de um trabalho contínuo durante um período alargado de tempo. O efeito da intervenção esporádica não produz alterações consistentes. A atividade de resolução de problemas constitui fator preponderante no processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Professores e alunos têm noção da sua importância. A implementação em sala de aula é comprometida pelo dever do professor cumprir o programa da disciplina e pela dificuldade do aluno realizar trabalho autónomo. A formação contínua de professores em resolução de problemas constitui uma oportunidade para disseminar conteúdos e práticas pedagógicas eficazes. Sugere-se, nomeadamente ao nível do 9º Ano de Escolaridade, por se tratar de um ano de transição de ciclo que obriga à escolha de um percurso educativo, tempos letivos alocados à prática da resolução de problemas. Deste modo seriam promovidos, em contínuo, processos cognitivos capazes de ajudar a melhorar desempenhos, com repercussões positivas em diversos contextos de aprendizagem. Os resultados sugerem que está latente no aluno um potencial de aprendizagem que é, eventualmente, cerceado por crenças de insucesso e/ou práticas pedagógicas desajustadas. Esperamos que o nosso contributo ajude os professores e as escolas a incorporar a prática da resolução de problemas nas dinâmicas de sala de aula.