Diffusion, viscoelasticity and erosion: Analytical study and medical applications

Abstract

O objectivo desta tese, composta por quatro capítulos, é a análise matemática da difusão em materiais viscoelásticos e biodegradáveis e a sua aplicação em libertação controlada de fármacos no campo da oftalmologia. Do ponto de vista físico o problema que importa conhecer é a absorção de um solvente através de uma matriz polimérica e/ou a libertação de um soluto disperso nessa matriz. Estes fenómenos de transporte são classicamente descritos pela Lei de Fick. No caso dos materiais poliméricos os resultados experimentais mostram que o comportamento da difusão se afasta muito do comportamento prescrito pela Lei de Fick. Muitos investigadores consideram que este afastamento se justifica pelas propriedades mecânicas dos materiais e que a Lei de Fick deve ser modificada de modo a incluir a influência da viscoelasticidade. Quando o polímero é biodegradável a difusão é governada também pela degradação do polímero que caracterizada pela ruptura das ligações entre as suas cadeias. No Capítulo 1 introduz-se o problema da difusão em meios viscoelásticos e biodegradáveis. No Capítulo 2 apresenta-se um modelo que descreve o transporte in vitro de um soluto através de um material viscoelástico e biodegradável. O modelo baseia-se num sistema de três equações de derivadas parciais que incluem difusão Fickiana, viscoelasticidade e degradação. A estabilidade, do modelo contínuo e de um modelo discreto, é provada, através da imposição de uma condição de carácter matemático, que se revela com sólido sentido físico No capítulo 3 aborda-se o transporte de um fármaco in vivo. O problema que se estuda é a libertação de um fármaco através de um implante biodegradável que é colocado no vítreo. O sistema que descreve o fenómeno resulta do acoplamento do sistema estudado no Capítulo 2, com um outro que descreve o transporte de fármaco no tecido vivo. No capítulo 4 apresenta-se um modelo completo de libertação in vitro. A matriz, contendo um fármaco disperso, entra em contacto com o solvente e inicia-se o processo de degradação, com a progressiva diminuição do peso molecular. O modelo é definido por um sistema de equações de derivadas parciais quase-lineares. É estudada a estabilidade de um problema de valor inicial associado ao sistema. São exibidas simulações numéricas que ilustram o comportamento dinâmico de todos os modelos apresentados e a sua dependência em relação aos parâmetros envolvidos. No capítulo 5 apresentamos algumas observações finais e descrevemos problemas suscitados ao longo do trabalho dos últimos anos e que planeamos abordar num futuro próximo.

The aim of this thesis, consisting of four chapters, is the mathematical analysis of transport in viscoelastic and biodegradable materials and their application in controlled drug release in ophthalmology. From the physical point of view the problem lies in understanding the mechanisms that regulate absorption of a solvent by a polymeric matrix and/or the release of a dispersed solute. These transport phenomena are classically described by Fick's Law. In the case of polymeric materials, experimental results show that it doesn’t provide an accurate description. Many researchers, experimentalists and theoreticians, consider this lack of accuracy is justified by the neglecting of the rheological properties of the materials and that Fick's law must be modified to include the influence of viscoelasticity. When the polymer is biodegradable, transport is governed in addition by degradation, which is characterized by the breaking of the bonds between the polymeric chains. In Chapter 1 the problem of transport in viscoelastic and biodegradable materials is presented. In Chapter 2 a model that describes in vitro transport of a solute through a viscoelastic, biodegradable material is studied. The model is based on three partial differential equations which include Fickian diffusion, viscoelasticity and material degradation. The stability of the continuous model and of the discrete model are proved, under a mathematical condition that hides a solid physical sense. In Chapter 3 the transport of a drug in the vitreous chamber of the eye is addressed. A mathematical model obtained by coupling the system studied in Chapter 2, with another system which describes the transport of drug into the vitreous humor is used to describe in vivo delivery. In chapter 4 a complete model of in vitro drug delivery is presented. It comprises the sorption of a solvent, the dissolution of a drug and its release. The model is defined by a system of quasi-linear partial differential equations. The stability of an initial value problem associated with the system is studied. For all models studied in this thesis, numerical simulations that illustrate their dynamic behavior and their dependence on the parameters involved are exhibited. In Chapter 5 we present some concluding remarks and describe issues that were raised in the course of the work of recent years and that we plan to address in the near future.