Normas Duais Discretas em Problemas Elípticos.

Abstract

Nas últimas três décadas tem-se verificado um grande interesse matemático em métodos de discretização que têm ordem de convergência superior à esperada pela análise standard do erro em termos do erro de truncatura. O tópico desta tese está centrado nesta ideia no contexto dos métodos de diferenças finitas e dos métodos de Galerkin totalmente discretos. Os métodos de diferenças finitas em malhas não uniformes (a situação usual da sua aplicação), têm erro de truncatura de primeira ordem mas apresentam convergência de segunda ordem, um comportamento designado por superconvergência. Para além disso, considerados como variantes totalmente discretas do método de elementos finitos segmentado linear, exibem também convergência de segunda ordem para o gradiente, um comportamento designado por "superaproximação". A análise destes fenómenos em equações gerais com condições de fronteira gerais para problemas unidimensionais é desenvolvida no primeiro capítulo. Para além disso é referida a extensão ao caso bidimensional e são apresentados resultados para sistemas elípticos. Nos dois capí-tulos seguintes são consideradas outras variantes dos métodos de diferenças finitas, os métodos de diferenças finitas centradas nas células. Estes métodos não são consistentes mas surpreendentemente apresentam convergência de segunda ordem. Com o objectivo de estudar este comportamento foi desenvolvida uma nova técnica de análise. No último capí-tulo, os resultados de convergência para equações elí-pticas são aplicados a equações parabólicas. Todos os resultados teóricos são ilustrados com exemplos numéricos.