Métodos numéricos adaptativos para a resolução de modelos multidimensionais em engenharia química

Abstract

O objectivo do trabalho de investigação consiste no desenvolvimento e teste de métodos numéricos adaptativos, aplicáveis na resolução eficiente de modelos matemáticos diferenciais evolutivos de dimensão arbitrária, que exibam soluções com gradientes elevados localizados no tempo e no espaço, e sejam relevantes no âmbito específico da modelação de processos químicos. Para tal, idealizam-se códigos computacionais para a aplicação e teste dos algoritmos numéricos desenvolvidos. A opção de programar os algoritmos em linguagem FORTRAN deve-se principalmente ao facto desta linguagem ser extremamente adequada ao desenvolvimento de ciclos complexos de operações lógicas e/ou algébricas, característicos deste tipo de algoritmos matemáticos. Por outro lado, o recurso à versão específica FORTRAN 77 deve-se ao facto desta se revelar suficiente para uma demonstração genérica da capacidade de execução dos programas em condições triviais, definidas num ambiente de processamento referente a um laptop comercial convencional, sem grandes preocupações de optimização intensiva do esforço computacional. De modo a testar a robustez e eficiência dos métodos, estes foram sujeitos de forma sistemática a modelos de complexidade crescente, desde exercícios de geração de malha, até à integração de problemas de equações diferenciais parciais (PDE’s) escalares e sistemas de equações diferenciais (apenas em casos unidimensionais). Os resultados disponibilizados permitem uma confirmação genérica da utilidade dos métodos para uma grande variedade de problemas que abrangem diversas áreas importantes da modelação de processos químicos como: combustão, adsorção, reacção química, mecânica de fluidos, etc; normalmente caracterizados por exibirem soluções com particularidades extremas. Os métodos de geração de malha apresentados são baseados em estratégias de colocação nodal controladas pela detecção de oscilações ou variações bruscas em aproximações numéricas avaliadas por fórmulas de diferenças finitas, que possibilitam a especificação de dois tipos de critérios denominados por C1 e C2, respectivamente. Estes denotam uma aptidão geral muito satisfatória para a identificação, localização e acompanhamento de frentes abruptas ou descontinuidades nos perfis de solução. Simultaneamente, os algoritmos permitem o reconhecimento das regiões de menor actividade da solução onde a malha mantém a sua esparsidade apenas limitada pela definição da malha base estabelecida por defeito idealizada como garante de um suporte mínimo para a solução numérica. A escolha de aproximações de diferenças finitas para a definição de critérios de refinamento de malha deve-se exactamente a uma tentativa de exploração das suas reconhecidas limitações, ou seja da sua tendência para a introdução de anomalias sem significado físico nas soluções numéricas. Deste modo, a pesquisa desse tipo de anomalias possibilita uma estratégia simples de detecção de regiões de maior actividade da solução e, consequentemente, seleccionáveis para refinamento de malhas inicialmente estabelecidas com um nível de resolução mínimo. A estratégia de integração numérica baseada num procedimento MOL (Method Of Lines) recorre a esquemas de estimação das derivadas espaciais de diferenças finitas (FD) ou de alta resolução (HRS) que geram sistemas de equações diferenciais ordinárias (ODE’s) resolvidos por integradores ODE na direcção temporal. Opta-se por testar a performance das aproximações FD nos procedimentos de integração MOL de modo a demonstrar a potencialidade de uma estratégia conceptualmente mais simples e directa na abordagem a exemplos problemáticos. Esta análise é complementada com o estudo de uma estratégia de discretização HRS claramente direccionada para lidar com as derivadas espaciais de primeira ordem que genericamente definem a natureza hiperbólica dos problemas diferenciais. Os resultados obtidos são geralmente satisfatórios, verificando-se melhores desempenhos dos métodos para diferenças FD descentradas que acompanhem o movimento das ondas em problemas de carácter parabólicos e procedimentos HRS no caso de exemplos essencialmente hiperbólicos. Os algoritmos revelam desempenhos aceitáveis, quer em relação a exactidão dos resultados, como do esforço computacional requerido. Assim, mostram-se bastante eficazes para uma larga gama de equações hiperbólicas e parabólicas e para problemas com condições fronteira de diversos tipos, quer estacionárias como evolutivas. A performance dos critérios de colocação do tipo C1 e C2 é relativamente equivalente para a generalidade dos exemplos testados. No entanto, verifica-se uma tendência para uma maior sensibilidade do critério C1 que necessita tipicamente de condições mais exigentes referentes a uma escala de tolerância mais reduzida em alguns modelos, para além de uma notória propensão para ao desenvolvimento de perturbações nos perfis de solução do que o critério C2 que se revela comparativamente mais estável. Por outro lado, o critério do tipo C1 ajusta-se satisfatoriamente à integração de problemas bidimensionais. O passo crítico dos algoritmos de integração numérica adaptativa consiste na operação de interpolação que executa a passagem da solução suportada numa malha gerada no passo temporal anterior para a solução definida sobre a malha seguinte correspondente ao passo actual. Os passos interpolativos são inevitáveis neste tipo de estratégias já que se relacionam intrinsecamente com a natureza estática do processo adaptativo seleccionado. Portanto, a qualidade do procedimento de interpolação revela-se essencial ao sucesso do método adaptativo de integração, principalmente no caso de problemas bidimensionais, onde o número de nodos potencialmente activáveis em cada passo é consideravelmente superior aos problemas unidimensionais. Esta questão demonstra-se especialmente premente em exemplos de carácter parabólico, ou seja predominantemente difusivos em que se constata que a sensibilidade do problema numérico a erros de interpolação relativamente reduzidos é muito superior, promovendo a introdução de fenómenos de instabilidade numérica nos perfis de solução. Assim, conclui-se que os modelos teoricamente menos problemáticos colocam maiores desafios de desenvolvimento de instabilidade e perturbações numéricas do que os problemas correspondentes de natureza predominantemente hiperbólica, onde a aplicação dos algoritmos adaptativos denota uma visível maior eficácia e robustez.

The general objective of the present research work relates to the development and implementation of numerical adaptive methods for the effective solution of differential non-stationary mathematical models, which exhibit steep gradient solutions localized in space and time. The problems of interest should have recognized relevance in the particular field of chemical processes modelation. For that purpose, computational codes are constructed for the execution and test of the developed numerical algorithms. The choice of programming the codes in FORTRAN is due to the fact of this language being especially well adapted to the codification of complex loops of logical and/or algebraic operations, which represent the core of this type of mathematical algorithms. On the other hand, the FORTRAN 77 version reveals itself sufficient for a clear demonstration of the implementation ability of the codes under trivial conditions (defined in a processing platform available in a conventional commercial laptop), without any concerns regarding a intensive optimization of computation effort. In order to test the robustness and effectiveness of the methods, these are systematically subjected to dealing with problems of increasing complexity, from simple exercises of grid generation to the resolution of scalar partial differential equations (PDE’s) and systems of PDE’s (solely for one-dimensional examples). The available results ensure a generic confirmation of the methods usefulness for a wide variety of problems covering important fields in chemical process modelation and simulation like: combustion, adsorption, chemical reaction, fluid mechanics, etc; usually characterized by developing solutions with extreme features. The grid generation methods presented in this work are based in nodal collocation techniques controlled by numerical oscillations and steep variations tracking on finite differences (FD) derivative approximations, which define two classes of criteria, named C1 and C2, respectively. These criteria reveal notorious ability to identify, locate and follow steep fronts and discontinuities in the numerical solutions profiles. Furthermore, the algorithms allow the recognition of lower activity regions where the grid maintains its sparsity, only limited by the definition of a default resolution lower threshold, which defines the minimum support to the solution. The choice of including FD approximations in the grid refining procedures is explained as an attempt of exploring its recognized limitations, namely its propensity to introduce non-physical perturbations in the numerical solution. Therefore, the detection of these anomalies allows the development of a simple scheme for the higher activity regions, selected for increasing level refinement operations. The numerical resolution strategy is based in a MOL (Method Of Lines) procedure that uses FD or high resolution (HRS) spatial derivatives estimation schemes for the generation of ordinary differential equations (ODE’s) systems, solved with standard ODE integrators in the time direction. The option of testing the FD approximations performance in the MOL integration process is due to the fact that the FD strategy represents a conceptually simpler and direct approach to difficult problems. This analysis is complemented with the study of the HRS discretizations, clearly directed for dealing with first order spatial derivatives (representing advection phenomena) which generally define the hyperbolic nature of the problem. These algorithms provide good results, with more successful performances for biased FD formulas that tag along the movement of the waves in parabolic examples, and HRS procedures for mainly hyperbolic cases. These procedures show acceptable result precision and require reasonable computing effort. Thus, they seem rather effective for a large range of hyperbolic and parabolic models, and several types of boundary conditions. The performance of the C1 and C2 type collocation criteria is relatively equivalent for most tested examples. However, the criterion C1 reveals a noticeable tendency to greater sensitivity towards the solution conditions, as it typically needs more demanding settings referring to reduced tolerance scales in some examples and a notorious propensity to the development of non-physical anomalies in the solutions profiles, comparing to the relatively more stable C2 criterion. On the other hand, the C1 type criterion is rather successful in dealing with two-dimensional problems. The critical step in the adaptive numerical integration algorithms refers to the interpolation operations that implements the translation of the solution supported on a grid generated at the previous time step to the novel solution defined on actual step grid. The interpolative operations are inevitable in the context of this type of strategies as they are intrinsically related with the static nature of the adaptive nature of the selected adaptive process. Therefore, the quality of the interpolation procedure is rather essential to the success of the integration method, mainly for two-dimensional problems where the number of potentially active nodes at each step is far superior to correspondent one-dimensional examples. This matter is especially important for parabolic mainly diffusive problems, which reveal themselves rather sensitive to otherwise reasonable interpolative errors, promoting the development of numerical instability in the solution profiles. It is concluded that theoretically less problematic models pose greater challenges than predominantly hyperbolic problems, where the application of the adaptive algorithms shows visible robustness and effectiveness.