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https://hdl.handle.net/10316/116662
Title: | Contributions to Regularity Theory in the Calculus of Variations | Other Titles: | Contribuições para a teoria da regularidade no cálculo de variações | Authors: | Bianca, Vincenzo | Orientador: | Pimentel, Edgard Almeida Urbano, José Miguel Dordio Martinho de Almeida |
Keywords: | fronteira livre; funcionais dependentes de Hessian; operador p-Laplaciano; Hessian-dependent functionals; fixed transmission problems; free boundary; p-Laplace operator; -; -; - | Issue Date: | 6-Sep-2024 | metadata.degois.publication.title: | Contributions to Regularity Theory in the Calculus of Variations | metadata.degois.publication.location: | Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra | Abstract: | This work examines the local regularity of some PDEs and deals with some of the developments of a fairly recent field of Mathematics, namely \textit{transmission problems}.After an introduction to the main problems we studied, we report the history of transmission problems from their origins to the latest findings. We divide the chapter into two main sections: the first is dedicated to the study of \textit{fixed} transmission problems, while the second is dedicated to the study of \textit{free} transmission problems. The difference lies in the fact that in the first type of problems the interface, i.e. the region where the transmission takes place, is fixed and known \textit{a priori}, while in the second type of problems the interface is solution-dependent.Then, we dive into our main contribution to the theory: the study of a degenerate transmission problem driven by a quasilinear operator. The lack of representation formulas for the operator and the degenerate nature of the diffusion process lead to genuine difficulties. Our arguments allow us to establish an estimate for their gradient in ${\rm BMO}$-spaces assuming the boundedness of the interface data. The latter implies solutions are of class$C^{0,{\rm Log-Lip}}$.The second set of results deals with problems in the realm of the calculus of variations driven by Hessian-dependent functionals. We briefly discuss this class of models and study the minimizers of the $L^{d}$-norm of the Hessian in the unit ball of $\mathbb{R}^d$. Our main results concerns the existence of a unique minimizer and the $C_{\rm loc}^{1,\alpha}$-regularity. Este trabalho examina a regularidade local de alguns EDPs e trata de alguns dos desenvolvimentos de um campo bastante recente da Matemática, nomeadamente \textit{problemas de transmissão}.Após uma introdução aos principais problemas que estudamos, relatamos o histórico dos problemas de transmissão desde suas origens até as últimas descobertas. Dividimos o capítulo em duas seções principais: a primeira é dedicada ao estudo de problemas de transmissão \textit{fixa}, enquanto a segunda é dedicada ao estudo de problemas de transmissão \textit{livre}. A diferença reside no fato de que no primeiro tipo de problemas a interface, ou seja, a região onde ocorre a transmissão, é fixa e conhecida \textit{a priori}, enquanto no segundo tipo de problemas a interface é dependente da solução.Em seguida, mergulhamos em nossa principal contribuição para a teoria: o estudo de um problema degenerado de transmissão conduzido por um operador quase linear. A falta de fórmulas de representação do operador e a natureza degenerada do processo de difusão conduzem a dificuldades genuínas. Nossos argumentos nos permitem estabelecer uma estimativa para seu gradiente em ${\rm BMO}$-espaços assumindo a limitação dos dados da interface. Este último implica que as soluções são de classe$C^{0,{\rm Log-Lip}}$.O segundo conjunto de resultados trata de problemas no domínio do cálculo de variações conduzido por funcionais dependentes de Hessian. Discutimos brevemente esta classe de modelos e estudamos os minimizadores da $L^{d}$-norma do Hessiano na bola unitária de $\mathbb{R}^d$. Nossos principais resultados dizem respeito à existência de um minimizador único e à $C_{\rm loc}^{1,\alpha}$-regularidade. |
Description: | Tese de Programa Inter-Universitário de Doutoramento em Matemática apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia | URI: | https://hdl.handle.net/10316/116662 | Rights: | openAccess |
Appears in Collections: | UC - Teses de Doutoramento |
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