Estimação Não Paramétrica de uma Função de Probabilidade pelo Método do Núcleo

Abstract

A presente dissertação é dedicada à estimação não paramétrica de uma função de probabilidade desconhecida, por intermédio do método do núcleo. Começamos por definir o estimador e exibir alguns exemplos típicos de núcleos, nomeadamente os núcleos de Dirac, de Aitchison e Aitken, de Wang e Van Ryzin, a versão simétrica do núcleo triangular clássico, bem como uma proposta mais recente baseada na distribuição de Conway-Maxwell-Poisson. Segue-se a apresentação das propriedades básicas de convergência local dos estimadores não normalizado e normalizado. No que diz respeito ao primeiro, são analisados os comportamentos assintóticos do viés, da variância e do erro quadrático médio, sendo depois estabelecida a convergência quase-certa e a normalidade assintótica do estimador. Relativamente ao estimador normalizado, a dedução dos resultados de convergência em probabilidade e quase-certa passa por analisar o comportamento assintótico da sucessão das constantes de normalização, cujo estudo é feito previamente. Posteriormente, apresentamos as propriedades globais de ambos os estimadores, com ênfase para a norma $\ell_1$. No caso do estimador normalizado, a convergência quase-certa no sentido desta norma permitirá obter um resultado do tipo Glivenko-Cantelli para a correspondente função de repartição. Ainda no âmbito das propriedades globais, é obtido o desenvolvimento assintótico do erro quadrático médio integrado para o estimador não normalizado usando a expansão de Newton, o que constitui uma abordagem original, tanto quanto sabemos. Por fim, comparamos os desempenhos dos estimadores empírico e de Aitchison e Aitken, a distância finita, através de um breve estudo de simulação.

This dissertation is devoted to the non-parametric estimation of an unknown probability function by means of the kernel method. We start by defining the estimator and display some typical examples of kernels, namely the Dirac, Aitchison and Aitken, Wang and Van Ryzin kernels, the symmetric version of the classical triangular kernel, as well as a more recent proposal based on the Conway-Maxwell-Poisson distribution. This is followed by the presentation of the basic local convergence properties of the non-normalised and normalised estimators. Regarding the former, the asymptotic behaviour of the bias, the variance and the mean square error are analysed, and then the almost sure convergence and the asymptotic normality of the estimator are established. Concerning the normalised estimator, the deduction of the convergence results in probability and almost sure convergence involves analysing the asymptotic behaviour of the succession of the normalisation constants, whose study is previously done. Subsequently, we present the global properties of both estimators, with emphasis on the norm $\ell_1$. In the case of the normalised estimator, the almost sure convergence towards this norm will allow one to obtain a Glivenko-Cantelli type result for the corresponding distribution function. Still within the scope of global properties, the asymptotic development of the integrated mean square error for the non-standardized estimator is obtained using the Newton expansion, which constitutes an original approach, as far as we know. Finally, we compare the performances of the empirical and the Aitchison and Aitken estimators, at finite distance, through a brief simulation study.