Preços de opções com custos de transação e volatilidade estocástica

Abstract

O modelo de Black-Scholes foi um dos primeiros modelos a sugerir uma abordagem para calcular o preço teórico de opções. Num mercado sem custos de transação podemos usar o modelo de Black-Scholes para avaliar uma opção Europeia e criar uma estratégia de cobertura sobre um ativo. No entanto, no mercado real, os custos de tal estratégia tendem cada vez a ser maiores pois as sucessivas compras e vendas do ativo acumulam custos de transação. Outra limitação do modelo de Black-Scholes é a suposição de que a volatilidade é constante, algo que não se reflete nos mercados financeiros onde tende a ser aleatória. Por isso, é necessário explorar modelos que considerem custos de transação e volatilidade estocástica.Neste trabalho abordamos o estudo de três modelos distintos: o modelo de Black-Scholes, o modelo com custos de transação e o modelo com custos de transação e volatilidade estocástica. Para a dedução das equações de derivadas parciais de cada modelo serão usados conceitos como o processo de Wiener, o lema de Itô e o teorema de Taylor.Descrevemos ainda métodos numéricos para determinar soluções aproximadas destes modelos, mais concretamente o método-theta que é um método de diferenças finitas. Consoante o valor de theta escolhido poderemos encontrar soluções para os modelos através do método explícito, método implícito ou método de Crank-Nicolson. Por último, serão apresentados os resultados numéricos obtidos com a implementação dos métodos numéricos para os dois primeiros modelos para que possamos fazer um estudo comparativo do preço das opções.

The Black-Scholes model was one of the first models to suggest an approach to calculate the theoretical price of options. In a market with no transaction costs we can use the Black-Scholes model to evaluate an European-style option and create a hedging strategy over an asset. However, in a realistic market, the costs of such strategy tend to get bigger because buying and selling the asset successively accumulates transaction costs. Another limitation of the Black-Scholes model is the assumption that volatility is constant, something that isn't reflected in the financial markets where the volatility is random. So it's necessary to explore models that take into account transaction costs and a stochastic volatility.In this work we discuss three models to evaluate options: the Black-Scholes, the model with transaction costs and the model with transaction costs and stochastic volatility. Concepts like the Wiener process, Itô's lemma and the Taylor theorem will be used to deduce the partial differential equations of each model.We describe numerical methods to determine approximated solutions to these models, more precisely the theta-method which is a finite difference method. Depending on the theta value we can find solutions to the models with an explicit method, implicit method or the Crank-Nicolson method. In the end we present numerical results obtained with the implementation of the numerical methods for the first two models in order to compare the price of options given by both models.